Wektorowy dowód Tw. Sinusów

[qrk1]

Witajcie !
Przychodzę do was z problemem. Mianowicie mam do udowodnienia Twierdzenie Sinusów. Problem w tym ,że dowód mam według polecenia wykonać:
Korzystając z właśności iloczynu wektorowego.
Dane mam tylko,że \(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} =0}\) No i oczywiście tw sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin \alpha } =\frac{a}{\sin \beta } =\frac{c}{\sin y } }\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha , \beta }\) oraz \(\displaystyle{ y}\) są odpowiednimi kątami tego trójkąta.
Problem polega na tym,że kompletnie nie wiem jak się za to zadanie w ogóle zabrać :/ Wiem ,że chodzi o wykorzystanie iloczynu wektorowego \(\displaystyle{ |a|\cdot|b|\cdot\sin \alpha }\) Tylko co dalej ? Czy ktoś jest w stanie pomóc / cokolwiek podpowiedziec ?
Pozdrawiam i z góry bardzo dziękuje każdemu, kto w jakikolwiek sposób pomoże !

[a4karo]

Wsk: uzasadnij, że \(\displaystyle{ |\vec{a}\times\vec{c}|=|\vec{b}\times\vec{c}|}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0} \ \ (1) }\)

Z równości \(\displaystyle{ (1) }\) i z własności iloczynu wektorowego

\(\displaystyle{ \vec{a} \times \vec{a} + \vec{a}\times \vec{b} +\vec{a}\times \vec{c} = \vec{0} }\)

\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{b} = \vec{c}\times \vec{a} }\)

Podobnie

\(\displaystyle{ \vec{b}\times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \vec{a}\times \vec{b} = \vec{b}\times \vec{c} = \vec{c}\times \vec{a} }\)

\(\displaystyle{ |\vec{a}\times \vec{b} | = |\vec{b}\times \vec{c}| = |\vec{c}\times \vec{a}| }\)

\(\displaystyle{ |\vec{a}||\vec{b}|\sin(\gamma) = |\vec{b}||\vec{c}|\sin(\alpha ) = |\vec{c}||\vec{a}|\sin(\beta) \ \ (2)
}\)

Dzielimy równości \(\displaystyle{ (2) }\) przez iloczyn \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c} }\)

\(\displaystyle{ \frac{\sin(\gamma)}{|\vec{c}|} = \frac{\sin(\alpha)}{|\vec{a}|} = \frac{\sin(\beta)}{|\vec{b}|} \ \ (3)}\).

Odwracając równości \(\displaystyle{ (3) }\) dowodzimy twierdzenie sinususów (Snelliusa).

[a4karo]

Brawo!!! Pięknie... Śliczny gotowiec (choć z błedem)

Szkoda, że autorowi nie dałeś szansy pomyślenia nad wskazówką.

Swoją drogą ciekawe czym jest iloczyn \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c} }\) przez który chcesz podzielić to wyrażenie?

Inna sprawa, że uzasadnienie równości długości iloczynów wektorowych jest skomplikowane. Wystarczy powołać się na fakt, że ta długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego przez wektory, a to równa się podwojonemu polu trójkąta - stąd równość.

[janusz47]

Gdzie jest błąd? Mój sędzio?
Zawsze możemy podzielić równość przez iloczyn trzech liczb \(\displaystyle{ |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot |\vec{c}|. }\)

[qrk1]

Bardzo dziękuje Panowie za odpowiedzi !
Pierwsza podpowiedzieć już duzo mi dała i w sumie doliczyłem zadanie bez odczytania "gotowca" - za którego też bardzo dziękuje - mogłem sprawdzić i porównać odpowiedzi !
Temat do zamknięcia

[Jan Kraszewski]

Zawsze możemy podzielić równość przez iloczyn trzech liczb \(\displaystyle{ |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot |\vec{c}|. }\)

Dzielimy równości \(\displaystyle{ (2) }\) przez iloczyn \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c} }\)

JK

[a4karo]

Zawsze możemy podzielić równość przez iloczyn trzech liczb \(\displaystyle{ |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot |\vec{c}|. }\)

Dzielimy równości \(\displaystyle{ (2) }\) przez iloczyn \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c} }\)

JK

Daj spokój. Przecież wiadomo, że nie jest ważne co janusz47 napisał, tylko co chciał napisać. A to czytający ma wiedzieć

[janusz47]

Pan Kraszewski zawsze się wtrąci, żeby ośmieszyć. Przykre.

[a4karo]

Pan Kraszewski zawsze się wtrąci, żeby ośmieszyć. Przykre.

Przecież to Ty sam się osmieszasz. Pryncypialnie odnosisz się do użytkowników, nie przyznajesz się do błędów lub bagatelizujesz je, zarzucasz złą wolę tym, którzy te błędy wskazują.

A może byś pomyślał co o tym sądzą ludzie, którzy oczekują od nas pomocy i poprawnych wskazówek.

[Jan Kraszewski]

Pan Kraszewski zawsze się wtrąci, żeby ośmieszyć. Przykre.

Nie bardzo Cię rozumiem. Sam zadałeś pytanie, gdzie błąd, więc Ci pokazałem. Wydawało mi się, że pytałeś się po to, żeby się dowiedzieć. Jeżeli to było pytanie retoryczne, to nie chwyciłem tego.

JK

[janusz47]

Przykro mi, że jestem wychowywany, upominany, ośmieszany, a do popełnionych błędów wbrew Pana opinii się przyznaję.

[Jan Kraszewski]

Przykro mi, że jestem wychowywany, upominany, ośmieszany, a do popełnionych błędów wbrew Pana opinii się przyznaję.

Dalej nie rozumiem. Zapytałeś o błąd, to go pokazałem, a Ty wyprowadzasz z tego dramatyczną narrację.

JK

[AiDi]

a do popełnionych błędów wbrew Pana opinii się przyznaję.

Przepraszam, ale dla mnie to trolling w najczystszej postaci. Spójrzmy jeszcze raz:

Gdzie jest błąd?

Zawsze możemy podzielić równość przez iloczyn trzech liczb \(\displaystyle{ |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot |\vec{c}|. }\)

Dzielimy równości \(\displaystyle{ (2) }\) przez iloczyn \(\displaystyle{ \vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c} }\)

JK

Pan Kraszewski zawsze się wtrąci, żeby ośmieszyć. Przykre.

To jest przyznanie się do błędu? Wiesz o tym, że za taki błędny zapis ktoś mógłby na kolokwium/egzaminie oberwać? "Niestety" ale na tym forum obowiązują pewne elementarne zasady dyskusji, które Ty notorycznie łamiesz. I "niestety" ale to nie forum będzie się dostosowywać do Ciebie tylko Ty musisz się dostosować do forum i zasad tu panujących.

Temat do zamknięcia

I tak też zrobię.