Zadanie: Znaleźć równanie elipsy, mającej ogniska na osi Ox, znając równania jej kierownic \(\displaystyle{ x = ±8}\) i mimosród \(\displaystyle{ e = \frac{1}{2} \sqrt{2} }\)
Czy dobrze to rozwiązałam?
mianowicie:
\(\displaystyle{ e= \frac{c}{a} }\) czyli \(\displaystyle{ c= \sqrt{2}, a = 2}\)
Wobec tego:
\(\displaystyle{ b ^{2}=a ^{2} - c^{2} = 4-2=2 \rightarrow b=2}\)
Zatem:
\(\displaystyle{
\frac{x ^{2} }{a ^{2} } + \frac{y ^{2} }{b ^{2} } =1 \\
\frac{x ^ {2} }{4}+ \frac{y ^{2} }{4} = 1
}\)
Wydaje mi się, że jest to źle obliczone, bo powinno się wykorzystać coś z informacji o kierownicach. Proszę o pomoc.
Równanie elipsy
-
- Użytkownik
- Posty: 26
- Rejestracja: 3 lis 2018, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
- Pomógł: 1 raz
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 668
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 206 razy
Re: Równanie elipsy
Raczejsaymyname200 pisze: ↑26 mar 2020, o 18:25 Czy dobrze to rozwiązałam?
mianowicie:
\(\displaystyle{ e= \frac{c}{a} }\) czyli \(\displaystyle{ c= \sqrt{2}, a = 2}\)
\(\displaystyle{ c= \sqrt{2}\cdot t, a = 2\cdot t\wedge t>0}\)
Pozdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Równanie elipsy
Równania kierownic elipsy:
\(\displaystyle{ x = \pm \frac{a^2}{c} \ \ (1) }\)
Mimośród elipsy
\(\displaystyle{ e = \frac{c}{a} \ \ (2)}\)
Podstawiając dane liczbowe do równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\) otrzymujemy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a^2}{c} = 8 \\ \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{cases} }\)
Stąd, na podstawie pierwszego równania
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{c} = a\cdot \frac{a}{c} = a\cdot \frac{1}{e} = 8 }\)
\(\displaystyle{ a\cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 }\)
\(\displaystyle{ a\cdot \sqrt{2} = 8 }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2}= 4\sqrt{2}. }\)
\(\displaystyle{ c = a\cdot e = 4\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} = 4 .}\)
Dla elipsy
\(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2 - b^2} }\)
\(\displaystyle{ b^2 = a^2 - c^2 }\)
\(\displaystyle{ b^2 = (4\sqrt{2})^2 - 4^2 = 32 - 16 = 16}\)
\(\displaystyle{ b = 4. }\)
Równanie kanoniczne elipsy
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{16} = 1. }\)
\(\displaystyle{ x = \pm \frac{a^2}{c} \ \ (1) }\)
Mimośród elipsy
\(\displaystyle{ e = \frac{c}{a} \ \ (2)}\)
Podstawiając dane liczbowe do równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\) otrzymujemy układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a^2}{c} = 8 \\ \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{cases} }\)
Stąd, na podstawie pierwszego równania
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{c} = a\cdot \frac{a}{c} = a\cdot \frac{1}{e} = 8 }\)
\(\displaystyle{ a\cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 }\)
\(\displaystyle{ a\cdot \sqrt{2} = 8 }\)
\(\displaystyle{ a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2}= 4\sqrt{2}. }\)
\(\displaystyle{ c = a\cdot e = 4\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2} = 4 .}\)
Dla elipsy
\(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2 - b^2} }\)
\(\displaystyle{ b^2 = a^2 - c^2 }\)
\(\displaystyle{ b^2 = (4\sqrt{2})^2 - 4^2 = 32 - 16 = 16}\)
\(\displaystyle{ b = 4. }\)
Równanie kanoniczne elipsy
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{32} + \frac{y^2}{16} = 1. }\)