Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

[Dasio11]

Autor wyliczył, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości \(\displaystyle{ |Z|a \delta}\) i \(\displaystyle{ |Z| b \delta}\)

No właśnie nie widzę tego "wyliczył", powidziałbym raczej "założył" na podstawie nie wiadomo czego w sumie,

A którego konkretnie fragmentu wyliczenia zaczynającego się od słów "Let us find the ultimate lengths of A and B" nie rozumiesz?

Ten fragment jest akurat w pełni zrozumiały, problemy zaczynają się od fragmentu:

"The shaded triangle at \(\displaystyle{ Z }\)is therefore ultimately similar to the shadded right traingle with hypotenuse \(\displaystyle{ a+ib}\)"

To czego w końcu nie rozumiesz: wyliczenia, że długości przyprostokątnych wynoszą \(\displaystyle{ |Z| a \delta}\) i \(\displaystyle{ |Z| b \delta}\), czy stwierdzenia, że taki trójkąt jest podobny do drugiego, którego boki wynoszą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)?

Tyle, że jak się ma ten arbitralnie wybrany punkt \(\displaystyle{ a+ib}\) do \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) które występuj w równaniu położenia \(\displaystyle{ Z(t) = e^{at} e^{ibt}}\)

To z definicji ten sam punkt.

W skrócie autor:

1. ustala dowolny punkt \(\displaystyle{ a+bi \in \CC}\);
2. rysuje krzywą o równaniu \(\displaystyle{ Z(t) = e^{at} e^{ibt}}\);
3. wpisuje w powyższą krzywą trójkąt i wylicza, że jego wymiary wynoszą \(\displaystyle{ |Z| a \delta}\) i \(\displaystyle{ |Z| b \delta}\) (dla małych \(\displaystyle{ \delta}\));
4. rysuje w początku układu współrzędnych trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) - nie arbitralnie wybranych, tylko tych samych co wcześniej;
5. na podstawie wyliczonych wymiarów stwierdza, że opisane trójkąty są podobne.

[Mondo]

To czego w końcu nie rozumiesz: wyliczenia, że długości przyprostokątnych wynoszą \(\displaystyle{ |Z| a \delta}\) i \(\displaystyle{ |Z| b \delta}\), czy stwierdzenia, że taki trójkąt jest podobny do drugiego, którego boki wynoszą \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)?

Tego drugiego, czyli tego że te trójkąty są podobne.

Tyle, że jak się ma ten arbitralnie wybrany punkt \(\displaystyle{ a+ib}\) do \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) które występuj w równaniu położenia \(\displaystyle{ Z(t) = e^{at} e^{ibt}}\)

To z definicji ten sam punkt.

Hmm jakiej definicji, dokładnie to jest mi potrzebne żeby zrozumieć te "podobieństwo" bo jak na razie dla mnie to \(\displaystyle{ a+ib}\) jest zupełnie wyrwane z kontekstu.

Myślę, że brakuje mi właśnie powiązania \(\displaystyle{ e^{at} e^{ibt}}\)z punktem \(\displaystyle{ a+ib}\).

[Dasio11]

Hmm jakiej definicji, dokładnie to jest mi potrzebne żeby zrozumieć te "podobieństwo" bo jak na razie dla mnie to \(\displaystyle{ a+ib}\) jest zupełnie wyrwane z kontekstu.

Jeszcze raz: ustalona jest para liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a, b)}\). Autor wziął te liczby i narysował krzywą \(\displaystyle{ Z(t) = e^{at} e^{ibt}}\). Potem autor wziął te same liczby i narysował trójkąt \(\displaystyle{ T}\) o wierzchołkach \(\displaystyle{ 0, a, a+bi}\). Na końcu stwierdził, że trójkąt rozpięty na krzywej \(\displaystyle{ Z(t)}\) jest podobny do trójkąta \(\displaystyle{ T}\). Gdzie tu widzisz kolizję oznaczeń?

[Mondo]

Okay, dzieki za wyjaśnienie. Widze już zamysł autora.
Jeszcze taki szczegół:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left| Z(t)\right| = \frac{d}{dt} e^{at} = a\left| Z\right| }\)
Dlaczego po ostanim znaku równości mamy \(\displaystyle{ \left| Z\right| }\), a nie\(\displaystyle{ \left| Z(t)\right|}\)? Przecież długość tego wektora po obliczeniu pochodnej wciąż zależy od czasu -> \(\displaystyle{ \frac{d}{dt} e^{at} = ae^{at} }\)

[Dasio11]

Przypuszczalnie chodzi o skrócenie zapisu lub podkreślenie, że \(\displaystyle{ t}\) w tych rozważaniach jest ustalone.