Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 25 mar 2020, o 21:41

Witam,

mam problem z zrozumieniem kroków autora na drodze przekształceń geometrycznych dla rysunku poniżej


https://i.paste.pics/b590cfc5c657edbd11 ... 627983c32e
Tekst oryginalny -> https://i.paste.pics/0ecb621b11a651de79 ... a6beba.png

Autor pisze, że \(\displaystyle{ R_{a}^{\theta} }\) oznacza rotajcę płaszczyzny o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) wokół punktu a. Nastepnie pisze, iż tak jak widać na rysunku [13b] ogólną rotację \(\displaystyle{ R_{a}^{\theta} }\) można wykonać poprzez "przesunięcie (ang. translating) \(\displaystyle{ a }\) do \(\displaystyle{ 0}\), natspenie obrócenie \(\displaystyle{ \theta}\) wokół \(\displaystyle{ 0}\) i ostatecznie przesuniecie \(\displaystyle{ 0}\) z powrotem do \(\displaystyle{ a}\)".
I tutaj zupełnie nie rozumiem tych kroków - jeżeli \(\displaystyle{ R_{a}^{\theta} }\) jest zdefiniowane jak napisałem wyżej, to po co przesuwać do punktu \(\displaystyle{ 0}\) i później z powrotem do \(\displaystyle{ a}\)? Kolejna rzecz to zapis matematyczny tych kroków, wedle autora wygląda on tak:
\(\displaystyle{ R_{a}^{\theta}(z) = (T_a \cdot R_{0}^{\theta} \cdot T_a^-1)(z) = e^{i \theta}(z-a) + a = e^{i \theta}z + k}\)
I tutaj znów same niejasności, bo tak, czym jest nawias \(\displaystyle{ (z-a)}\)? Jeśli \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\) sa długościami to gdze się zaczynają? Czy w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) wedle rysunku [13b]?

Dzięki za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8862
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1889 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Dasio11 » 26 mar 2020, o 09:08

Mondo pisze:
25 mar 2020, o 21:41
jeżeli \(\displaystyle{ R_{a}^{\theta} }\) jest zdefiniowane jak napisałem wyżej, to po co przesuwać do punktu \(\displaystyle{ 0}\) i później z powrotem do \(\displaystyle{ a}\)?
Dlatego że celem linkowanego fragmentu jest wyrażenie przekształceń geometrycznych za pomocą funkcji na liczbach zespolonych. We wstępie stwierdzone jest, że znamy zespolony wzór na obrót wokół punktu \(\displaystyle{ 0}\) oraz na translację, nie znamy natomiast wzoru na obrót wokół dowolnego punktu \(\displaystyle{ a}\). Ale z rysunku widać, że takie przekształcenie może być przedstawione jako złożenie trzech przekształceń o znanych wzorach - obrotu wokół zera i dwóch translacji - co pozwala wyznaczyć i ów brakujący wzór.

Mondo pisze:
25 mar 2020, o 21:41
\(\displaystyle{ R_{a}^{\theta}(z) = (T_a \cdot R_{0}^{\theta} \cdot T_a^-1)(z) = e^{i \theta}(z-a) + a = e^{i \theta}z + k}\)
I tutaj znów same niejasności, bo tak, czym jest nawias \(\displaystyle{ (z-a)}\)? Jeśli \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\) sa długościami to gdze się zaczynają? Czy w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) wedle rysunku [13b]?
\(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ a}\) są punktami na płaszczyźnie, ale można je też traktować jak wektory zaczepione w zerze, a także jak liczby zespolone. Wtedy kolejno:

- \(\displaystyle{ z-a}\) jest punktem powstałym przez przesunięcie punktu \(\displaystyle{ z}\) o wektor \(\displaystyle{ -\overrightarrow{0a}}\) (czyli \(\displaystyle{ \overrightarrow{a0}}\));

- \(\displaystyle{ e^{i \theta}(z-a)}\) jest punktem otrzymanym przez obrót poprzedniego punktu wokół zera o kąt \(\displaystyle{ \theta}\);

- \(\displaystyle{ e^{i \theta}(z-a) + a}\) to punkt będący rezultatem przesunięcia ostatniego punktu o wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{0a}}\).

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 28 mar 2020, o 13:09

Dasio11, świetnie wyjaśnione. Dziękuję :D

Mam jeszcze pytanko co do tego rysunku który pojawia się nieco później https://paste.pics/92c592f133a1b6408a656b8098af91b8

autor pisze, ze \(\displaystyle{ \frac{d}{dz} \left| Z(t)\right| = \frac{d}{dt} e^{at} }\)
Wedlug mnie ponieważ \(\displaystyle{ Z(t) = e^{at} e^{ibt}}\) to \(\displaystyle{ \left| Z(t)\right| = \sqrt{(e^{at} cos(bt))^2 + (ie^{at}sin(bt)^2)} }\) ale to ni jak nie sprowadza mi się do \(\displaystyle{ e^{at} }\)

Czego tutaj nie widzę?
Ostatnio zmieniony 28 mar 2020, o 14:36 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8862
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1889 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Dasio11 » 28 mar 2020, o 13:28

Można tak jak piszesz, z tym że

\(\displaystyle{ |Z(t)| = \sqrt{ \left( e^{at} \cos(bt) \right)^2 + \left( e^{at} \sin(bt) \right)^2 }}\)

bo ogólnie \(\displaystyle{ |x+yi| = \sqrt{x^2+y^2}}\), a nie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2 + (iy)^2}}\). Dalej:

\(\displaystyle{ \sqrt{ \left( e^{at} \cos(bt) \right)^2 + \left( e^{at} \sin(bt) \right)^2 } = \sqrt{ (e^{at})^2 \big( \cos^2(bt) + \sin^2(bt) \big) } = \sqrt{ (e^{at})^2 \cdot 1 } = e^{at}}\).

Ale można też nieco prościej, bo moduł iloczynu liczb zespolonych to iloczyn ich modułów, czyli

\(\displaystyle{ |e^{at} e^{ibt}| = |e^{at}| \cdot |e^{ibt}| = e^{at} \cdot |e^{ibt}|}\).

Rachunkiem analogicznym do tego wyżej sprawdza się, że \(\displaystyle{ e}\) do potęgi czysto urojonej zawsze ma moduł równy jeden, czyli znów zostaje \(\displaystyle{ e^{at}}\).

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 28 mar 2020, o 18:20

Dasio11 pisze:
28 mar 2020, o 13:28
Rachunkiem analogicznym do tego wyżej sprawdza się, że \(\displaystyle{ e}\) do potęgi czysto urojonej zawsze ma moduł równy jeden, czyli znów zostaje \(\displaystyle{ e^{at}}\).
Zgadza się, znacznie szybszy sposób, dzięki :)

Jest jeszcze jedna niejasność co do założeniam, że trójkąty w punkcie \(\displaystyle{ Z}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\) sa takie same. Autor wychodzi z tego, że \(\displaystyle{ \frac{d}{dt} \left| Z(t)\right| = a\left| Z\right| }\) z czym się zgadzam, tak samo jak z tym, że \(\displaystyle{ \left| A\right| = \left| Z \right| a \delta }\) natomiast nie potrafie na tej podstawie wyciagnąc wnioskum, że oba trójkaty sa takie same. Żeby tak było trzeba by np. pokazać, że \(\displaystyle{ A = a }\) czy to, że \(\displaystyle{ B = b}\) ani jednego z tych równań nie jestem w stanie udowodnić. Chciałbym np. sprawdzic jak wygladał ten trojkat w chwili czasu 0 ale wtedy i trojkata nie było bo \(\displaystyle{ e^{0}e^{0} = 1}\). Podobnie w chwili czasu 1 \(\displaystyle{ e^{a}e^{ib} = ?}\)

Jak można by to zrobić?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8862
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1889 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Dasio11 » 28 mar 2020, o 19:07

A co to za trójkąty?

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 28 mar 2020, o 19:44

Prostokątne oczywiście, ale nie widzę związku ktorym można by je powiązać :|

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8862
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1889 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Dasio11 » 28 mar 2020, o 20:19

Ale jak są zdefiniowane? Nie mam Twojej książki.

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 28 mar 2020, o 21:05

Tak, w dalszym ciagu chodzi o rysunek https://paste.pics/92c592f133a1b6408a656b8098af91b8

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8862
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1889 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Dasio11 » 28 mar 2020, o 21:10

Pytam o definicję tych trójkątów, a nie rysunek. Jeśli rysunek jest definicją, odpowiadam: trójkąty są takie same, bo na rysunku są tej samej wielkości.

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 28 mar 2020, o 21:39

No właśnie nie bardzo i tu jest problem. Autor opera sie głównie na wektorze \(\displaystyle{ A}\), który to można opisać za pomocą pochodnej i jak napisałem wcześniej ta cześć jest zrozumiała. Natomiast później nagle autor przyrównuje trójkąt prostokątny którego dwa ramiona to \(\displaystyle{ M }\)i \(\displaystyle{ A }\)(trójkąt prostokątny w punkcie \(\displaystyle{ Z}\)) z trojkatem z punkcie 0 ktoreego przeciwprostokątna to \(\displaystyle{ a+ib}\). Tutaj fragment opisu w jezyku ang https://i.paste.pics/48a9ff31804f4c5e30 ... 50f1d8.png

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8862
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1889 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Dasio11 » 28 mar 2020, o 22:51

Trójkąt zaczepiony w punkcie \(\displaystyle{ Z(t)}\) jest (dla bardzo małych \(\displaystyle{ \delta}\)) zbliżony do trójkąta prostokątnego. Autor wyliczył, że przyprostokątne tego trójkąta mają długości \(\displaystyle{ |Z|a \delta}\) i \(\displaystyle{ |Z| b \delta}\), więc ten trójkąt jest podobny to trójkąta prostokątnego narysowanego w prawym dolnym rogu, o przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 28 mar 2020, o 23:35

No właśnie nie widzę tego "wyliczył", powidziałbym raczej "założył" na podstawie nie wiadomo czego w sumie, lub ja nie wiem, że te trójkąty są podone. Gdyby dało się znaleźć taki moment w którym ten trojkąt zaczepiony w Z bedzie miał faktycznie wymiary tego w 0 to wszystko było by jasne, a tak to dla mnie trochę naciągany przykład...

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8862
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1889 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Dasio11 » 28 mar 2020, o 23:52

A którego konkretnie fragmentu wyliczenia zaczynającego się od słów "Let us find the ultimate lengths of A and B" nie rozumiesz?

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 390
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 196 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Przekształcenia geometryczne - problem z zrozumieniem

Post autor: Mondo » 29 mar 2020, o 15:22

Ten fragment jest akurat w pełni zrozumiały, problemy zaczynają się od fragmentu:

"The shaded triangle at \(\displaystyle{ Z }\)is therefore ultimately similar to the shadded right traingle with hypotenuse \(\displaystyle{ a+ib}\)"

Zastanawiam się, czy nie ma tutaj kolizji oznaczeń. Mówiąc dokłaniej wygląda na to, że autor wymyślił sobie jakis arbitralny punkt \(\displaystyle{ a+ib}\) na podstawie którego buduje trójkąt podobny do tego który formuje się poprzez "podróżującą" trajektorie. Autor pokazuje, że jeśli wektor \(\displaystyle{ a+ib}\) zrotujemy o kat wektora \(\displaystyle{ Z}\) oraz przesuniemy od dlugosc/modul tego wektora \(\displaystyle{ \left| Z\right| }\) to dostaniemy wektor \(\displaystyle{ M}\). Tyle, że jak się ma ten arbitralnie wybrany punkt \(\displaystyle{ a+ib}\) do \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) które występuj w równaniu położenia \(\displaystyle{ Z(t) = e^{at} e^{ibt}}\) - dokladnie tutaj dostrzegam wspomniana kolizje oznaczen bo dla mnie nie ma zwiazku pomiedzy wystepujacym w \(\displaystyle{ e^{at}}\) a punktem \(\displaystyle{ a+ib}\)

Tutaj kolejna strona z tej ksiazki, gdzie autor pokazuje jak z punktu \(\displaystyle{ a+ib}\) mozna otrzymać \(\displaystyle{ M}\) https://i.paste.pics/dd6f4f0667ef5fe036 ... 101c3d.png

A no i rzecz najważniejsza, ostatecznie dochodzi do wniosku, że \(\displaystyle{ e^{at}e^{ibt} = e^{(a+ib)t}}\) a więc już jawnie, jak wspomniałem wyżej stawia znak równości pomidzy \(\displaystyle{ a}\) w potedzie \(\displaystyle{ e^{at}}\) oraz punktem \(\displaystyle{ a+ib}\). Tak więc pytanie jest takie, co upoważnia do takiego przyrównania?

ODPOWIEDZ