1.Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach \(\displaystyle{ A(–6,1, 4), B(0, 2, –3), C(8, –4, 7)}\) i \(\displaystyle{ D(8, –4, 7)}\).
2. Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ P(–1, 3, 2)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ π:\ 4x –y + z + 5 = 0}\).
3. Znaleźć równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(3, 1, 4)}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ π:\ x – 6y – 5 = 0}\) (jako parametru użyj litery \(\displaystyle{ t}\)).
4. Znaleźć punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ P(2, 2, – 1)}\) względem płaszczyzny o równaniu \(\displaystyle{ – y + 1 = 0}\).
Ostatnio zmieniony 21 mar 2020, o 20:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód:Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Kasia2401 pisze: ↑21 mar 2020, o 20:05
3. Znaleźć równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ A(3, 1, 4)}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi: x – 6y – 5 = 0 }\) (jako parametru użyj litery t).
Wektor normalny do \(\displaystyle{ \pi}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ [1,\ -6,\ 0]}\) i jest równocześnie wektorem rozpinającym prostą \(\displaystyle{ l}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ A}\), zatem \(\displaystyle{ l:\ \begin{cases} x=3+1\cdot t\\ y=1+(-6)\cdot t\\z=4+0\cdot t\end{cases}\wedge t\in\RR }\)
Pozdrawiam
PS. Edytuj i popraw, proszę, swój post do wersji "cytowanej" przeze mnie
Kasia2401 pisze: ↑21 mar 2020, o 20:054. Znaleźć punkt symetryczny do punktu \(\displaystyle{ P(2, 2, – 1)}\) względem płaszczyzny o równaniu \(\displaystyle{ – y + 1 = 0}\).
Tutaj to wystarczy zamknąć oczy i wyobrazić sobie tę sytuację...
Kasia2401 pisze: ↑21 mar 2020, o 20:05
2. Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ P(–1, 3, 2)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ π:\ 4x –y + z + 5 = 0}\).
Zacznij analogicznie do zadania 3. Jak znajdziesz postać parametryczną prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ \pi}\), to \(\displaystyle{ x,\ y,\ z}\) wstaw do równania \(\displaystyle{ \pi}\), rozwiąż równanie zmiennej \(\displaystyle{ t}\) - pozwoli Ci to na wskazanie \(\displaystyle{ P'}\) - rzutu prostokątnego \(\displaystyle{ P}\) na tę płaszczyznę. Pozostanie policzyć \(\displaystyle{ |PP'|}\)
\(\displaystyle{ P\in \pi }\) - punkt należy do płaszczyzny - proszę sprawdzić.
Dodano po 23 minutach 40 sekundach:
a)
Objętość równoległościanu, jako wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów wychodzących z wierzchołka np. \(\displaystyle{ A }\) \(\displaystyle{ |V|= \left| \vec{AD}\cdot ( \vec{AB}\times \vec{AC} ) \right| }\)
jest równa zeru (proszę sprawdzić), ponieważ wektory:
\(\displaystyle{ \vec{AC}= [14, -5, 3] = \vec{AD} }\) - są komplanarne - leżą w jednej płaszczyźnie (wysokość równoległościanu \(\displaystyle{ h =0 }\)).
janusz47 pisze: ↑21 mar 2020, o 21:57Objętość równoległościanu, jako wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów wychodzących z wierzchołka np. \(\displaystyle{ A }\) \(\displaystyle{ |V|= \left| \vec{AD}\cdot ( \vec{AB}\times \vec{AC} ) \right| }\)
jest równa zeru (proszę sprawdzić), ponieważ wektory:
\(\displaystyle{ \vec{AC}= [14, -5, 3] = \vec{AD} }\) - są komplanarne - leżą w jednej płaszczyźnie (wysokość równoległościanu \(\displaystyle{ h =0 }\)).
No ja myślę, że to autorka źle przepisała dane (w których \(\displaystyle{ C=D}\)) - jakoś nie chce mi się wierzyć, by ktoś kazał liczyć objętość trójkąta...
Zamknąłem oczy i nic nie widzę. Otworzyłem oczy, wykonałem rysunek i zobaczyłem, że równanie
\(\displaystyle{ -y +1 = 0, \ \ y = 1 }\) przedstawia płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi' }\) prostopadłą do osi \(\displaystyle{ Oy }\) w punkcie \(\displaystyle{ A(0,1,0). }\)
Na podstawie rysunku odczytałem, że punkt \(\displaystyle{ P' }\) symetryczny do punktu \(\displaystyle{ P(2, 2,-1) }\) względem płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi': y=1 }\) ma współrzędne \(\displaystyle{ P'( 2, 0, -1).}\)
To jest rysunkowy - niezadawalający sposób rozwiązania zadania.
Równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ l }\) prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi' : y =1 }\) i przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(2,2,-1) }\)
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x =2 \\ y = 2 +t \\ z = -1. \end{cases} }\)
Wektorem kierunkowym prostej jest wektor prostopadły płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi' \ \ [0, 1 , 0]. }\)
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ P'' }\) "przebicia " płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi' }\) prostą \(\displaystyle{ l }\) znajdujemy, obliczając wartość parametru \(\displaystyle{ t }\) z równania \(\displaystyle{ 2+ t = 1, \ \ t = -1. }\)
Punkt "przebicia \(\displaystyle{ P' }\) ma więc współrzędne \(\displaystyle{ P''( 2, 2-1, -1) = P''( 2, 1, -1) }\) i jest punktem środka symetrii.
Stąd wynika, że współrzędne punktu \(\displaystyle{ P'' }\), symetrycznego do punktu \(\displaystyle{ P }\) wynoszą odpowiednio
janusz47 pisze: ↑22 mar 2020, o 10:50Raczej objętość równoległoboku.
Raczej nie. Będę obstawał przy tym, że trzy punkty wyznaczają trójkąt, a nie równoległobok.
janusz47 pisze: ↑22 mar 2020, o 10:50Zamknąłem oczy i nic nie widzę. Otworzyłem oczy, wykonałem rysunek i zobaczyłem, że równanie
\(\displaystyle{ -y +1 = 0, \ \ y = 1 }\) przedstawia płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi' }\) prostopadłą do osi \(\displaystyle{ Oy }\) w punkcie \(\displaystyle{ A(0,1,0). }\)
No cóż, to oczywiście nie było formalne rozwiązanie, ale myślę, że niektórym łatwiej wyobrazić sobie płaszczyznę \(\displaystyle{ y=1}\) i w wyobraźni odbić względem niej punkt niż to samo narysować (mnie na pewno tak). Nie trzeba też wykonywać rysunku, by zobaczyć, jak ten punkt odbić, wystarczy trochę wyobraźni przestrzennej (niedużo, skoro mnie się udało). A takie wyobrażenie jest pożyteczne, bo dla wielu osób geometria analityczna sprowadza się do manipulacji wzorami.
janusz47 pisze: ↑21 mar 2020, o 21:57Objętość równoległościanu, jako wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów wychodzących z wierzchołka np. \(\displaystyle{ A }\) \(\displaystyle{ |V|= \left| \vec{AD}\cdot ( \vec{AB}\times \vec{AC} ) \right| }\)
jest równa zeru (proszę sprawdzić), ponieważ wektory:
\(\displaystyle{ \vec{AC}= [14, -5, 3] = \vec{AD} }\) - są komplanarne - leżą w jednej płaszczyźnie (wysokość równoległościanu \(\displaystyle{ h =0 }\)).
No ja myślę, że to autorka źle przepisała dane (w których \(\displaystyle{ C=D}\)) - jakoś nie chce mi się wierzyć, by ktoś kazał liczyć objętość trójkąta...
JK
Niestety, ja tego nie pomyliłam, ewentualnie prowadzący zajęcia przesłał nam złe dane dlatego też wolałam zapytać mądrzejszych od siebie czy ja zle liczę czy te dane są jakieś nie takie
Kasia2401 pisze: ↑22 mar 2020, o 12:38Niestety, ja tego nie pomyliłam, ewentualnie prowadzący zajęcia przesłał nam złe dane dlatego też wolałam zapytać mądrzejszych od siebie czy ja zle liczę czy te dane są jakieś nie takie
No to prowadzący się pomylił. Skoro \(\displaystyle{ C=D}\), to masz trójkąt, a nie czworościan, więc mówienie o objętości ma umiarkowany sens - wynik to zero i nie potrzeba do tego skomplikowanych wzorów.
