Pozycje punktow na wykresach funkcji ln (x) i exp(x)

[Filip0406]

Witam serecznie,
Oto zadanie i proponowane przeze mnie rozwiazanie :

W ukladzie wspolrzednych kartezjanskich umieszczono wykresy trzech funkcji,\(\displaystyle{ W_1 : y=x, W_2 : y= \ln (x)}\) i \(\displaystyle{ W_3 : y= e^{x}}\).
A i B sa dwoma punktami na wykresie \(\displaystyle{ W_2 : y= \ln (x)}\), I jest srodkiem odcinka [AB]. J i C sa dwoma punktami wykresu \(\displaystyle{ W_1 : y=x}\) i K jest punktem na wykresie\(\displaystyle{ W_3 : y= e^{x}}\). Proste (IJ) i (KC) sa rownolegle do osi Ox i (JK) jest rownolegla do osi Oy.

H jest rzutem prostokatnym punktu B na os Ox. Styczna do wykresu \(\displaystyle{ W_2 : y= \ln (x)}\) w punkcie B przecina os Ox w punckcie K'. Czy stwierdzenie : K jest srodkiem odcinka [OH] wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ b= \frac{1}{e}}\), jest prawdziwe ?

Oto moj rezultat :

Wspolrzedne punktow : \(\displaystyle{ H(b,0)}\);\(\displaystyle{ K'(\ln (\sqrt{ab}), 0)}\) i rownanie stycznej do wykresu \(\displaystyle{ W_2 : y= \ln (x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ B : y_B = \frac{x}{b} - 1 + \ln (b)}\), z czego wunika ze \(\displaystyle{ K'(b(1-b);0)}\). K jest srodkiem odcinka [OH] wtedy i tylko wtedy gdy :

\(\displaystyle{ b(1-\ln(b))=0,5b \Leftrightarrow \ln (b) = 0,5 \Leftrightarrow b= \sqrt{e}}\)

Czy moje rozumowanie jest poprawne ? Z gory dziekuje za odpowiedz

[Dasio11]

Zakładając, że w pytaniu chodziło o \(\displaystyle{ K'}\) a nie o \(\displaystyle{ K}\), i pomijając detale, Twoje rozwiązanie jest w porządku.

[Filip0406]

Rozwazanie punktu \(\displaystyle{ K}\) jako srodka \(\displaystyle{ OH}\) jest tym przypadku niemozliwe, gdyz \(\displaystyle{ \bigwedge_{ x \in \RR} e^{x} > 0}\).