sprawdzić czy krzywa jest zamknięta

[shreder221]

Dzień dobry. Ostatnim podpunktem zadania z mechaniki które właśnie robię jest: Pokazać, że tor jest krzywą zamkniętą.

Otrzymany tor to: \(\displaystyle{ (d-b)^{2}x^{2}+(a-c)^{2}y^{2}=(ad-bc)^2}\)

mój pomysł był taki żeby sparametryzować

\(\displaystyle{ \begin{cases} (d-b)x=x`\\ (a-c)y=y`\end{cases} }\)
W wyniku czego otrzymam równanie okręgu \(\displaystyle{ (x`)^{2}+(y`)^{2}=(ad-bc)^2}\) które oczywiście jest krzywą zamkniętą



Pierwsze pytanie brzmi czy ta metoda jest prawidłowa?

Drugie pytanie brzmi? Czy istnieje jakaś ogólniejsza metoda sprawdzenia czy krzywa jest krzywą zamkniętą?

[Janusz Tracz]

Pierwsze pytanie brzmi czy ta metoda jest prawidłowa?

Tak.

Drugie pytanie brzmi? Czy istnieje jakaś ogólniejsza metoda sprawdzenia czy krzywa jest krzywą zamkniętą?

To zależy raczej od krzywej. Tu zanim parametryzowałeś można było powidzieć, że jest to równanie elipsy co od razu daje odpowiedź.

[janusz47]

Krzywą zamkniętą (konturem) nazywamy taką krzywą \(\displaystyle{ \gamma }\) jeśli \(\displaystyle{ k(\gamma) = p(\gamma) }\) (koniec pokrywa się z jej początkiem).

Jeśli krzywa \(\displaystyle{ \gamma }\) jest konturem to całka \(\displaystyle{ \oint_{\gamma} \omega = 0. }\)