dodawanie punktu do wektora?

[shreder221]

Dzień dobry.
Nie jestem pewien czy w dobrym dziale więc z góry przepraszam i proszę o przeniesienie w razie co.

Na ćwiczeniach pojawił mi się wzór na prostą w przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{3}}\): \(\displaystyle{ \gamma(u)= P+u\vec{v} }\).

Pytanie 1 brzmi: Jak można dodać do siebie punkt oraz iloczyn skalara z wektorem?


Pytanie 2 brzmi: skąd się wziął ten wzór?

[Janusz Tracz]

Jak można dodać do siebie punkt oraz iloczyn skalara z wektorem?

Skalar razy wektor to wektor. Natomiast sam punkt możesz traktować jak wektor zaczepiony w środku układu. Wtedy dodajesz dwa wektory z czego jeden jest "skalowany" wynik to wektor który wskazuje na punkty prostej.

skąd się wziął ten wzór?

Powyższy opis powinien to wyjaśnić. A jeśli nie to idea jest taka by zaczepić wektor w punkcie \(\displaystyle{ P}\) i skalować go generując kolejne punkty prostej.

[janusz47]

To równanie prostej w przestrzeni afinicznej \(\displaystyle{ H_{3} }\) - prostej afinicznej.

\(\displaystyle{ \left(\begin{matrix} \gamma_{1}(u)\\ \gamma_{2}(u)\\ \gamma_{3}(u) \end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix} p_{1}\\ p_{2}\\ p_{3} \end{matrix}\right) + u \left(\begin{matrix} v_{1}\\ v_{2}\\ v_{3} \end{matrix}\right) }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \gamma_{1}(u) = p_{1} +u \cdot v_{1} \\ \gamma_{2}(u) = p_{2}+ u \cdot v_{2} \\ \gamma_{3}(u)= p_{3} + u\cdot v_{3} \end{cases} }\)

Dodanie punktu do iloczynu skalara i wektora czyli punktu do wektora, to jedno z działań charakteryzujących przestrzeń afiniczną.

Temat powinien znaleźć się w dziale Algebra - Algebra Liniowa.

[shreder221]

Skąd mam wiedzieć kiedy mogę swobodnie używać tej własności przestrzeni afinicznej? np w zadaniu które było na analizie (dla fizyki) i brzmiało

Ukryta treść:    

Znaleźć parametryzację krzywej w \(\displaystyle{ \RR^{3}}\), powstałej z przecięcia płaszczyzny \(\displaystyle{ z=0}\) z prostymi stycznymi do helisy o równaniu \(\displaystyle{ \vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, t)}\) dla \(\displaystyle{ t\in \RR}\).

Jak widać nigdzie przestrzeń afiniczna nie została wspomniana

PS.
Właśnie się zastanawiałem pomiędzy analizą wektorową i geometrią analityczną.
A jak widać mogło to jeszcze być w algebrze liniowej :p

[AiDi]

No jak mowa jest o krzywej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) to w domyśle chodzi o afiniczne \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\). W kontekście fizyki czasoprzestrzenie Galileusza i Minkowskiego są przestrzeniami afinicznymi (ta pierwsza z nieco bardziej skomplikowaną strukturą wiązki włóknistej nad osią czasu \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)).

[shreder221]

Dziękuję bardzo