Wyznaczanie punktów prostej w przestrzeni

[kaczy1no]

Witam,
Czy ma ktoś pomysł na funkcję, która będzie wyznaczała współrzędne punktu na prostej wg. założeń ?

Prosta wyznaczona przez 2 punkty \(\displaystyle{ A(x,y,z)}\) i \(\displaystyle{ B(x_1,y_1,z_1)}\)
Funkcja wyznacza punkt w przestrzeni należący do prostej oraz oddalony od punktu \(\displaystyle{ A}\) o odległość \(\displaystyle{ d}\) leżący między punktami \(\displaystyle{ A(x,y,z)}\) i \(\displaystyle{ B(x_1,y_1,z_1)}\).
Nie jestem matematykiem, będę więc wdzięczny za wyrozumiałą odpowiedź.
Mam nadzieje, że umieściłem pytanie w dobrym dziale.

Pozdrawiam
Paweł

[JHN]

Ponieważ
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[x_1-x,\ y_1-y,\ z_1-z] }\)
zatem
\(\displaystyle{ |\vec{AB}|=\sqrt{(x_1-x)^2+( y_1-y)^2+( z_1-z)^2} }\)
Chcemy, aby
\(\displaystyle{ \vec{AP}=[x_P-x,\ y_P-y,\ z_P-z] =\frac{d}{|\vec{AB}|}\cdot \vec{AB}}\)
Pozostaje rozwiązać układ trzech równań - porównanie współrzędnych równych wektorów

Pozdrawiam
PS. \(\displaystyle{ P\in\overline{AB}}\), o ile \(\displaystyle{ d\le|\vec{AB}|}\)

[Janusz Tracz]

Nie jestem pewien czy dobrze rozumiem. Mamy dwa punkty \(\displaystyle{ A,B}\) i prostą na nich zbudowaną \(\displaystyle{ \ell}\). Ciebie interesuje punkt który jest pomiędzy \(\displaystyle{ A,B}\) (leży na \(\displaystyle{ \ell}\)) i jest oddalony od \(\displaystyle{ A}\) o jakąś odległość \(\displaystyle{ d}\)? Jeśli tak to zaproponuję coś takiego.

\(\displaystyle{ 1)}\) Wektor \(\displaystyle{ \vec{AB} }\) patrzy z punktu \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ B}\)

\(\displaystyle{ 2)}\) Dodatkowo znormalizujmy ów wektor \(\displaystyle{ \frac{\vec{AB}}{\left| AB\right| } }\) tak aby miał długość \(\displaystyle{ 1}\).

\(\displaystyle{ 3)}\) wektor mający długość \(\displaystyle{ d}\) patrzący z \(\displaystyle{ A}\) w kierunku \(\displaystyle{ B}\) to \(\displaystyle{ d \cdot \frac{\vec{AB}}{\left| AB\right| } }\)

\(\displaystyle{ 4)}\) Zaczepmy teraz taki wektor w punkcie \(\displaystyle{ A}\), czyli \(\displaystyle{ A+d \cdot \frac{\vec{AB}}{\left| AB\right| }}\)

Podsumowując powyższe kroki punkt lezący na prostej \(\displaystyle{ \ell}\) odległy od \(\displaystyle{ A}\) o \(\displaystyle{ d}\) to punkt o współrzędnych:

\(\displaystyle{ \text{P}(A,B,d)=A+d \cdot \frac{\vec{AB}}{\left| AB\right| }}\)

oczywiście \(\displaystyle{ d}\) nie może być za długie bo wyjedzie poza \(\displaystyle{ B}\)!

[kaczy1no]

Dziękuję za szybką odpowiedź.
@Janusz o to dokładnie mi chodzi.
Istnieje jednak szansa aby przedstawić wynik w takiej formie, abym mógł podstawić do tych równań \(\displaystyle{ d}\) i otrzymać współrzędne punktu ?
Nie wynika to z mojego lenistwa, lecz z tego, że zajmuje się zgoła innymi zagadnieniami i aby rozwiązać temat do końca musiałbym dużo poświęcić, chodź odpowiedź dostałem na tacy.

[Janusz Tracz]

Istnieje jednak szansa aby przedstawić wynik w takiej formie, abym mógł podstawić do tych równań \(\displaystyle{ d}\) i otrzymać współrzędne punktu ?

Tak. Pamiętaj jednak, że współrzędne szukanego punkty który oznaczyłem jako \(\displaystyle{ \text{P}(A,B,d)}\) nie zależą wyłącznie od \(\displaystyle{ d}\) a jeszcze od \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Jeśli masz współrzędne kartezjańskie punktów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) powiedzmy \(\displaystyle{ A=(x_a,y_a,z_a)}\) oraz \(\displaystyle{ B=(x_b,y_b,z_b)}\) to bardziej przyjazna forma do obliczeń wygląda tak:

\(\displaystyle{ \text{P}(A,B,d)=A+d \cdot \frac{\vec{AB}}{\left| AB\right| }}\)

\(\displaystyle{ \text{P}(A,B,d)=(x_a,y_a,z_a)+d \cdot \frac{(x_b-x_a, y_b-y_a, z_b-z_a)}{ \sqrt{\left(x_b-x_a \right)^2+\left( y_b-y_a\right) ^2+\left( z_b-z_a\right)^2 } }}\)

ostatecznie:    

\(\displaystyle{ \text{P}(A,B,d)=\left( x_a+ \frac{d \cdot (x_b-x_a)}{ \sqrt{\left(x_b-x_a \right)^2+\left( y_b-y_a\right) ^2+\left( z_b-z_a\right)^2 }}, y_a+ \frac{d \cdot (y_b-y_a)}{ \sqrt{\left(x_b-x_a \right)^2+\left( y_b-y_a\right) ^2+\left( z_b-z_a\right)^2 }} , z_a+ \frac{d \cdot (z_b-z_a)}{ \sqrt{\left(x_b-x_a \right)^2+\left( y_b-y_a\right) ^2+\left( z_b-z_a\right)^2 }} \right) }\)

PS uwaga na przecinki oddzielają one trzy współrzędne punktu \(\displaystyle{ \text{P}(A,B,d)}\).

[JHN]

\(\displaystyle{ \vec{AP}=[x_P-x,\ y_P-y,\ z_P-z] =\frac{d}{|\vec{AB}|}\cdot \vec{AB}}\)

\(\displaystyle{ P:\begin{cases} x_P=x+\frac{d}{|\vec{AB}|}\cdot (x_1-x)\\
y_P=y+\frac{d}{|\vec{AB}|}\cdot (y_1-y)\\
z_P=z+\frac{d}{|\vec{AB}|}\cdot (z_1-z)
\end{cases} }\)

Pozdrawiam