Jak wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do elipsoidy, równoległej do innej płaszczyzny?

[bosendorfer]

Równanie elipsoidy:
\(\displaystyle{ \frac{x ^{2} }{36}+ \frac{y ^{2} }{36} + \frac{z ^{2} }{81} =0}\)
Mam za zadanie wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do tej elipsoidy które są również równoległe do tej płaszczyzny: \(\displaystyle{ 3x-6y+4z+5}\)
Nie wiem jak się za to zabrać.

[a4karo]

Ale banał. Twoja elipsoida składa się z jednego punktu

[janusz47]

Powierzchnia elipsoidy zadana jest równaniem

\(\displaystyle{ \mathcal{E} = \left\{ (x,y,z)\in \RR^3: \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{36} + \frac{z^2}{81} = 1 \right\} }\)

Popraw równanie elipsoidy.

Wektor gradientu do tej powierzchni

\(\displaystyle{ grad( \mathcal{E}) = \left[ \frac{x}{18}, \ \ \frac{x}{18}, \ \ \frac{2z}{81} \right] }\)

Wektor ten jest różny od zera, poza punktem \(\displaystyle{ p_{0} = (0, 0, 0) }\)

Wobec tego płaszczyzna styczna do zbioru \(\displaystyle{ \mathcal{E} }\) w punkcie \(\displaystyle{ p = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \neq (0,0,0), }\) to płaszczyzna prostopadła do wektora

\(\displaystyle{ \left[ \frac{p_{1}}{18}, \ \ \frac{p_{2}}{18}, \ \ \frac{2p_{3}}{81} \right] }\)

i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (p_{1}, p_{2}, p_{3} ),}\) czyli płaszczyzna o równaniu

\(\displaystyle{ \frac{p_{1}}{18} x + \frac{p_{2}}{18}y + \frac{2p_{3}}{81}z = \frac{p^2_{1}}{18} + \frac{p^2_{2}}{18} + \frac{2p^2_{3}}{81} }\)

Płaszczyzna ta ma być równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ 3x -6y +4z +5 = 0 }\), oznacza to, że wektor \(\displaystyle{ \left[\frac{p_{1}}{18}, \ \ \frac{p_{2}}{18}, \ \ \frac{2p_{3}}{81} \right] }\) musi być równoległy do wektora \(\displaystyle{ [3, \ \ -6, \ \ 4 ].}\)

Istnieje więc taka liczba \(\displaystyle{ t\in \RR, }\) że zachodzi równość

\(\displaystyle{ \left[ \frac{p_{1}}{18}, \ \ \frac{p_{2}}{18}, \ \ \frac{2p_{3}}{81} \right] \cdot t = [3, \ \ -6, \ \ 4 ] \ \ (1)}\)

Proszę rozwiązać równanie wektorowe \(\displaystyle{ (1) }\), zastępując go układem trzech równań skalarnych, obliczyć paremetr \(\displaystyle{ t }\) i znaleźć współrzędne punktów styczności i równania dwóch płaszczyzn stycznych - równoległych do danej płaszczyzny.

[bosendorfer]

i przechodząca przez punkt \(\displaystyle{ (p_{1}, p_{2}, p_{3} ),}\) czyli płaszczyzna o równaniu

\(\displaystyle{ \frac{p_{1}}{18} x + \frac{p_{2}}{18}y + \frac{2p_{3}}{81}z = \frac{p^2_{1}}{18} + \frac{p^2_{2}}{18} + \frac{2p^2_{3}}{81} }\)

Nie rozumiem tego równania, a konkretnie jego prawej części. Z czego ono wynika?

\(\displaystyle{ \left[ \frac{p_{1}}{18}, \ \ \frac{p_{2}}{18}, \ \ \frac{2p_{3}}{81} \right] \cdot t = [3, \ \ -6, \ \ 4 ] \ \ (1)}\)

Proszę rozwiązać równanie wektorowe \(\displaystyle{ (1) }\), zastępując go układem trzech równań skalarnych, obliczyć paremetr \(\displaystyle{ t }\) i znaleźć współrzędne punktów styczności i równania dwóch płaszczyzn stycznych - równoległych do danej płaszczyzny.

Teraz mam układ równań z czterema niewiadomymi i trzema równaniami, w jaki sposób powinienem go rozwiązywać?

[a4karo]

Fakt, że \((p_1,p_2,p_3)\) leży na elipsoidzie daje Ci czwarte równanie (to jest to, czego nie rozumiesz).

[janusz47]

To równanie wynika, z równania ogólnego płaszczyzny po przeniesieniu wyrazów wolnych na prawą stronę równania:

\(\displaystyle{ \frac{p_{1}}{18}\left(x - p_{1} \right) + \frac{p_{2}}{18}\left( y - p_{2}\right) + \frac{2p_{3}}{81}\left( z - p_{3}\right) = 0 .}\)

[bosendorfer]

Już rozumiem, dziękuję wszystkim.