Wyznaczyć prostą binormalną do krzywej \(\displaystyle{ L: r(t) = [t, \sqrt{2} \ln{t}, \frac{1}{t}] }\) równoległą do płaszczyzny \(\displaystyle{ x+z=1}\).
To co wiem:
Wektor normalny płaszczyzny to \(\displaystyle{ \vec{n _{ \pi } }=[1,0,1]}\)
Żeby binormalna była równoległa do płaszczyzny: \(\displaystyle{ \vec{b} \cdot \vec{n _{ \pi } }=0 }\) (*)
Obliczam wektor binormalny:
\(\displaystyle{ r'(t)=[1, \frac{ \sqrt{2} }{t}, -\frac{1}{t ^{2} } ] }\)
\(\displaystyle{ r"(t)=[0,- \frac{ \sqrt{2} }{t ^{2}}, \frac{2}{t ^{3} } ] }\)
\(\displaystyle{ r' \times r"=[ \frac{ \sqrt{2} }{t ^{3} }, \frac{2}{ t^{3} }, \frac{ \sqrt{2}}{t ^{2} }] }\) <- ten wektor przyjmuję sobie do dalszych obliczeń jako binormalny,
wiem że wektor binormalny powinien być unormowany, ale przecież długość nie powinna mieć wpływu na równoległość/prostopadłość.
I tutaj chyba robię coś źle bo gdy próbuję skorzystać z warunku (*) żeby wyznaczyć t to wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ \sqrt{2} }{t ^{3} }*1=0 \\ \frac{2}{ t^{3} }*0=0 \\ \frac{ \sqrt{2}}{t ^{2} }*1=0\end{cases}}\)
EDIT: W trakcie pisania posta coś mnie natchnęło ale niech mnie ktoś poprawi jeśli teraz źle kombinuję:
Nie powinno być układu współrzędnych tylko
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{t ^{3} }*1+\frac{2}{ t^{3} }*0+ \frac{ \sqrt{2}}{t ^{2}*1 }=0 \Leftrightarrow \frac{ \sqrt{2}(1-t^{2}) }{t^{4}}=0 \Leftrightarrow t=1 \vee t=-1}\)
Ale jako że w równaniu krzywej mamy logarytm naturalny z t to t=1
Podstawiam sobie do wzoru i mam prostą binormalną:
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{ \sqrt{2} }= -\frac{y-0}{2}= -\frac{z-1}{ \sqrt{2} } }\)