Parametr naturalny krzywej

[P2udrak]

Znaleźć parametr naturalny krzywej \(\displaystyle{ L: r(t)=[\cos ^{3}(t),\cos(2t), \sin^{2}(t) ]}\) dla \(\displaystyle{ t \in \left\langle 0, \frac{ \pi }{2} \right\rangle }\), przyjmując \(\displaystyle{ s=0}\) dla \(\displaystyle{ t=0}\).

Obliczam:
\(\displaystyle{ r'(t)=[-3\cos^{2}(t)\sin(t),-2\sin(2t),\sin^{2}(t)\cos(t)]}\)
następnie liczę sobie \(\displaystyle{ |r'(t)|}\) korzystając między innymi z \(\displaystyle{ \sin(2x)}\) dochodzę do momentu w którym już nie wiem jak bardziej zwinąć wyrażenie pod pierwiastkiem :/
\(\displaystyle{ \left| r'(t) \right|= \sqrt{8\cos^{2}(t)\sin^{2}(t)(1+\cos^{2}(t))} }\)

[janusz47]

Proszę poprawić trzecią współrzędną \(\displaystyle{ r'(t) }\) na \(\displaystyle{ (sin^2(t))' = 2\sin(t) \cos(t) = \sin(2t). }\)

Z pierwszej współrzędnej wyodrębniamy \(\displaystyle{ \sin(2t), \ \ -3\cos^2(t)\sin(t) = -\frac{3}{2}\cos(t)\sin(2t) }\)

Wyłączamy \(\displaystyle{ \sin(2t) }\) przed nawias, a potem przed pierwiastek kwadratowy.

[P2udrak]

Dziękuje, dalej poszło