Działania na wektorach

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16291
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3232 razy

Działania na wektorach

Post autor: anna_ » 22 gru 2019, o 17:43

Dane są wektory:
\(\displaystyle{ A = 2i + 5j + 3k}\)
\(\displaystyle{ B = 3i - 2j + 1k}\)

Znajdź iloczyn skalarny wektorów: \(\displaystyle{ A \cdot (A+B)}\)
Znajdź iloczyn wektorowy wektorów: \(\displaystyle{ (A-B) \times A}\)
Znajdź iloczyn mieszany wektorów:\(\displaystyle{ (A \times B) \cdot A}\)

Wystarczą końcowe wyniki.
Ostatnio zmieniony 22 gru 2019, o 19:42 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Braki w LateXu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: Działania na wektorach

Post autor: a4karo » 22 gru 2019, o 18:11

Znasz wzory?

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16291
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3232 razy

Re: Działania na wektorach

Post autor: anna_ » 22 gru 2019, o 18:12

Nie pamiętam, wieki temu to robiłam.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18116
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3060 razy

Re: Działania na wektorach

Post autor: a4karo » 22 gru 2019, o 18:24

Google? Czemu ktoś ma to robić za Ciebie

anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16291
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 3232 razy

Re: Działania na wektorach

Post autor: anna_ » 22 gru 2019, o 18:31

Dzięki za odpowiedź.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5848
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 10 razy
Pomógł: 1273 razy

Re: Działania na wektorach

Post autor: janusz47 » 22 gru 2019, o 20:30

\(\displaystyle{ \vec{A} = 2\vec{i} +5\vec{j} + 3\vec{k} }\)

\(\displaystyle{ \vec{B} = 3\vec{i} - 2\vec{j} + 1\vec{k} }\)

a)

\(\displaystyle{ \vec{A}\cdot (\vec{A} + \vec{B}) }\)

\(\displaystyle{ (2\vec{i} +5\vec{j} + 3\vec{k} )\cdot [( 2\vec{i} +5\vec{j} + 3\vec{k}) + (3\vec{i} - 2\vec{j} + 1\vec{k})] = (2\vec{i} +5\vec{j} + 3\vec{k} )\cdot (5\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) = 10\vec{i}\cdot \vec{i} + 15 \vec{j}\cdot \vec{j} + 12 \cdot \vec{k}\cdot \vec{k} \\ = 10\cdot 1 + 15\cdot 1 + 12 \cdot 1= 10 + 15 + 12 = 37.}\)

b)

\(\displaystyle{ (\vec{A} - \vec{B}) \times \vec{A} = [(2\vec{i} +5\vec{j} + 3\vec{k} ) - ( 3\vec{i} - 2\vec{j} + 1\vec{k})]\times [ 2\vec{i} +5\vec{j} + 3\vec{k}] = (-1\vec{i}+ 7\vec{j}+2\vec{k}) \times (2\vec{i} +5\vec{j} + 3\vec{k} ) }\)

\(\displaystyle{ (\vec{A} - \vec{B}) \times \vec{A} = \left|\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 7 & 2 \\ 2 & 5 & 3 \end{matrix}\right | = \left|\begin{matrix} 7 &2 \\ 5 & 3\end{matrix} \right| \cdot \vec{i} - \left|\begin{matrix} -1 &2 \\ 2 & 3\end{matrix} \right| \cdot \vec{j} +\left|\begin{matrix} -1 & 7 \\ 2 & 5\end{matrix} \right| \cdot \vec{k} = (21-10) \vec{i} - (-3 - 4)\vec{j} + (-5-14) \vec{k} = 11\vec{i} + 7\vec{j} -19\vec{k}. }\)

c)

\(\displaystyle{ (\vec{A}\times \vec{B})\cdot \vec{A} = \left|\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 5 & 3\\ 3 & -2 & 1\end{matrix}\right|\cdot[ 2\vec{i}+ 5\vec{j} + 3\vec{k} ] = \left(\left|\begin{matrix} 5 & 3\\ -2 & 1\end{matrix} \right| \cdot \vec{i} - \left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 1\end{matrix} \right| \cdot \vec{j} +\left|\begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & -2\end{matrix} \right| \cdot \vec{k} \right) \cdot (2\vec{i} +5\vec{j}+3\vec{k})= \\=[(5+6) \vec{i} - (3 - 9)\vec{j} + (-4-15) \vec{k} ]\cdot [2\vec{i} + 5\vec{j} +3\vec{k}] = (11\vec{i} + 6\vec{j}-19\vec{k})\cdot (2\vec{i} + 5\vec{j} +3\vec{k}) = 22 + 30 - 57 = -5. }\)

Dodano po 1 dniu 16 godzinach 35 minutach 57 sekundach:
Korekta

\(\displaystyle{ (\vec{A}\times \vec{B})\cdot \vec{A} = \left|\begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 5 & 3\\ 3 & -2 & 1\end{matrix}\right|\cdot[ 2\vec{i}+ 5\vec{j} + 3\vec{k} ] = \left(\left|\begin{matrix} 5 & 3\\ -2 & 1\end{matrix} \right| \cdot \vec{i} - \left|\begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 1\end{matrix} \right| \cdot \vec{j} +\left|\begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & -2\end{matrix} \right| \cdot \vec{k} \right) \cdot (2\vec{i} +5\vec{j}+3\vec{k})= \\=[(5+6) \vec{i} - (2 - 9)\vec{j} + (-4-15) \vec{k} ]\cdot [2\vec{i} + 5\vec{j} +3\vec{k}] = (11\vec{i} + 7\vec{j}-19\vec{k})\cdot (2\vec{i} + 5\vec{j} +3\vec{k}) = 22 + 35 - 57 = 0. }\)

ODPOWIEDZ