Wzajemne położenie dwóch prostych w R3

[invitoo]

Witam. Rozumiem, że skoro proste są rownolegle to ich wektory kierunkowe są proporcjonalne, jednak jak określić czy proste te się nie przecinają czy na siebie się nakładają?

[kerajs]

Prostą, prócz wektora kierunkowego, określa także punkt zaczepienia. Wystarczy sprawdzić czy punkt zaczepienia jednej z równoległych prostych spełnia równanie drugiej prostej. Jeśli tak,to proste się pokrywają, jeśli nie, to są rozłączne.

[janusz47]

Jeśli proste są równoległe - wektory kierunkowe tych prostych \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}, \ \ \vec{a}_{2} }\) są równoległe, to znaczy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ t\in \RR }\) i spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} = t\cdot \vec{a}_{2}. }\)

Iloczyn skalarny tych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = -1 }\)

Proste są prostopadłe, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 0 }\)

Proste przecinają się, gdy \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq 1 , \ \ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq -1. }\)

[kerajs]

Jeśli proste są równoległe - wektory kierunkowe tych prostych \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}, \ \ \vec{a}_{2} }\) są równoległe, to znaczy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ t\in \RR }\) i spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} = t\cdot \vec{a}_{2}. }\)

Iloczyn skalarny tych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = -1 }\)

Zwykle tak nie jest. Kontrprzykład:
\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} =\left[1,1,1 \right] \ \wedge \ \vec{a}_{2} =\left[2,2,2 \right] \ \ \Rightarrow \ \vec{a}_{1} \circ \vec{a}_{2}=6 }\)

Proste przecinają się, gdy \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq 1 , \ \ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq -1. }\)

Także zwykle nie. Kontrprzykład jak wyżej.

[a4karo]

Jeśli proste są równoległe - wektory kierunkowe tych prostych \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}, \ \ \vec{a}_{2} }\) są równoległe, to znaczy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ t\in \RR }\) i spełniona jest równość

\(\displaystyle{ \vec{a}_{1} = t\cdot \vec{a}_{2}. }\)

Iloczyn skalarny tych wektorów \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 1 }\) lub \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = -1 }\)

Proste dane równaniami `\mathbf{x}=s[1,1,1]` i `\mathbf{x}=s[2,2,2]`, są równolegle (bo są takie same), ale ich wektory kierunkowe nie spełniają podanego warunku. Wektor kierunkowy nie musi mieć długości `1`.

Proste są prostopadłe, gdy ich wektory kierunkowe są prostopadłe \(\displaystyle{ \vec{a}_{1} \cdot \vec{a}_{2} = 0 }\)

Wektory `[1,0,0]` i `[0,1,0]` są prostopadłe, ale proste `s[1,0,0]` i `(0,0,1)+s[0,1,0]` nie są prostopadłe, bo nie mają punktu wspólnego.

Proste przecinają się, gdy \(\displaystyle{ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq 1 , \ \ \vec{a}_{1}\cdot \vec{a}_{2} \neq -1. }\)

Proste `s[1,0,0]` i `s[0,1,0]` przecinają się, a iloczyn skalarny ich wektorów kierunkowych jest równy od `\pm 1`


Trzy stwierdzenia - trzy nieprawdy.