Współrzędne punktu na prostej o minimalnym polu trójkąta w przestrzeni R3

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
digir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 2 lis 2018, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Współrzędne punktu na prostej o minimalnym polu trójkąta w przestrzeni R3

Post autor: digir »

Witam,
mam problem z zadaniem:
Dane są punkty \(\displaystyle{ A(1,-1,3)}\) i \(\displaystyle{ B(0,2,5)}\). Znaleźć na prostej \(\displaystyle{ l: x-1=\frac{y-4}{2}=\frac{z-3}{3}}\) punkt \(\displaystyle{ C}\) taki, że pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest najmniejsze.
Odpowiedź: \(\displaystyle{ C(4/3, 14/3, 4)}\)
Jestem w stanie wyznaczyć odległość pomiędzy punktem \(\displaystyle{ C}\) a prostą generowaną przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), lecz nie wiem w jaki sposób ma mi to pomóc w znalezieniu współrzędnych tego punktu.
Dziękuję za pomoc
Ostatnio zmieniony 28 lis 2019, o 15:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Współrzędne punktu na prostej o minimalnym polu trójkąta w przestrzeni R3

Post autor: Premislav »

Prosta \(\displaystyle{ l}\) z zadania przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\4\\3\end{array}\right)}\) i jest równoległa do wektora \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)}\). Zatem jej równanie parametryczne możemy zapisać w postaci
\(\displaystyle{ X=\left(\begin{array}{c}1\\4\\3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right), \ t \in \RR}\).

Natomiast prosta przechodząca przez punkty \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}0\\2\\5\end{array}\right)}\) ma równanie parametryczne \(\displaystyle{ Z=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-1\\3\\2\end{array}\right)}\), gdyż
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}-1\\3\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\2\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right) }\).
Pole rzeczonego trójkąta będzie iloczynem długości odcinka \(\displaystyle{ AB}\) i odległości (jak ktoś chce: długości rzutu prostopadłego punktu \(\displaystyle{ C}\) na prostą wyznaczoną przez \(\displaystyle{ AB}\)) punktu \(\displaystyle{ C}\) od prostej \(\displaystyle{ Z}\) jak wyżej. Odrobina geometrii analitycznej powyżej służyła przejściu od algebry liniowej, której nie umiem, do analizy matematycznej, którą trochę umiem, a trochę nie umiem.
Punkt \(\displaystyle{ C}\) realizuje minimum odległości (euklidesowej oczywiście) punktów z prostej \(\displaystyle{ X}\) od prostej \(\displaystyle{ Z}\), zatem w punkcie \(\displaystyle{ C}\) przyjmuje swoje minimum funkcja dwóch zmiennych
\(\displaystyle{ f(s,t)=\sqrt{\left(1+t-(1-s) \right)^{2}+\left(4+2t-(-1+3s)\right)^{2}+\left(3+3t-(3+2s)\right)^{2}}}\),
a ponieważ pierwiastek kwadratowy jest funkcją rosnącą, więc wystarczy minimalizować kwadrat tej funkcji, czyli funkcję
\(\displaystyle{ g(s,t)=\left(t+s \right)^{2}+\left(5+2t-3s\right)^{2}+\left(3t-2s\right)^{2}}\)
Skorzystamy z nierówności \(\displaystyle{ 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\ge (x+y+z)^{2} \ (*)}\), która natychmiast wynika z nierówności Cauchy'ego-Schwarza, choć można też, po rozwinięciu prawej strony ze wzoru skróconego mnożenia i redukcji wyrazów podobnych, pozwijać w kwadraty.
\(\displaystyle{ \left(t+s \right)^{2}+\left(5+2t-3s\right)^{2}+\left(3t-2s\right)^{2}=(t+s)^{2}+(5+2t-3s)^{2}+(2s-3t)^{2}\ge \frac{1}{3}\left( t+s+5+2t-3s+2s-3t\right)^{2}=\frac{25}{3} }\)
i równość w \(\displaystyle{ (*)}\) zachodzi tylko gdy \(\displaystyle{ x=y=z}\), czyli w naszym przypadku \(\displaystyle{ t+s=5+2t-3s=2s-3t}\), a to można przekształcić w układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi, na przykład
\(\displaystyle{ \begin{cases}s=t+1\\s=4t\end{cases}}\)
a stąd \(\displaystyle{ s=\frac{4}{3}, t=\frac{1}{3}}\).
Zatem współrzędne punktu \(\displaystyle{ C}\) mają postać:
\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{c}x_{C}\\y_{C}\\z_{C}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\4\\3\end{array}\right)+\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\\frac{14}{3}\\4 \end{array} \right)}\).
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Współrzędne punktu na prostej o minimalnym polu trójkąta w przestrzeni R3

Post autor: janusz47 »

Punkt \(\displaystyle{ C }\) leży na prostej \(\displaystyle{ l: \frac{x-1}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-3}{3} \ \ (1) }\)

jego współrzędne \(\displaystyle{ (x, y, z) }\) spełniają równanie prostej \(\displaystyle{ (1) }\) i równanie w jej postaci parametrycznej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 4 +2t \\ z = 3 + 3t \\ t\in \RR. \end{cases} }\)

Obliczamy współrzędne wektorów \(\displaystyle{ \vec{AB}, \ \ \vec{AC}}\)

\(\displaystyle{ \vec{AB} = [ 0-1, \ \ 2-(-1), \ \ 5-3 ] = [-1, \ \ 3, \ \ 2] ,}\)

\(\displaystyle{ \vec{AC} = [1 +t -1, \ \ 4 +2t -(-1), \ \ 3 +2t -3] = [ t, \ \ 2t+5, \ \ 2t ]. }\)

Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\) jest równe

\(\displaystyle{ |P_{\triangle}(t)| = \frac{1}{2} \parallel \vec{AB} \times \vec{AC} \parallel }\)

\(\displaystyle{ |P_{\triangle}(t)| = \frac{1}{2} \parallel [-1, \ \ 3, \ \ 2]\times [ t, \ \ 2t+5, \ \ 2t ] = \frac{1}{2} \parallel [ 5t -10, \ \ 5t \ \ -5t -5] \parallel = \frac{5}{2} \parallel [t-2, \ \ t, \ \ -t -1 ]\parallel }\)

\(\displaystyle{ |P_{\triangle} (t)|= \frac{5}{2} \sqrt{(t-2)^2 +t^2 + (-1-t)^2} = \frac{5}{2}\sqrt{t^2 -4t +4+t^2+t^2 +2t+1}= \frac{5}{2}\sqrt{ 3t^2 -2t +5}.}\)

Pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\) jest mimalne

\(\displaystyle{ |P_{\triangle}(t)|_{min} = |P_{\triangle}(t^{*})| = |P_{\triangle}\left(\frac{1}{3}\right) | = \frac{5}{2} \sqrt{\frac{14}{3}} }\)

dla punktu \(\displaystyle{ C^{*} }\) o współrzędnych:

\(\displaystyle{ C^{*} = \left( 1 +\frac{1}{3}, \ \ 4 + 2\cdot \frac{1}{3}, \ \ 3 + 3\cdot \frac{1}{3} \right) = \left( \frac{4}{3}, \ \ \frac{14}{3}, \ \ 4\right).}\)
ODPOWIEDZ