Biegunowy układ odniesienia

[Nadine]

Wytłumaczy mi ktoś na jakiej zasadzie znaleźć toru ruchu i prędkość od funkcji czasu w biegunowym układzie odniesienia. Rozumiem, że należy zrobić to pochodną ale gubię się przez brak wiedzy

[janusz47]

\(\displaystyle{ \vec{r} = r \hat{r} }\)

\(\displaystyle{ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\hat{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\theta}{dt} \hat{\theta} }\)

\(\displaystyle{ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}.}\)

[Nadine]

Wzór posiadam, ale go nie rozumiem, dlatego prosiłam o wytłumaczenie

[janusz47]

Co nie jest zrozumiałe?
Wektor przemieszczenia?
Prędkość liniowa?
Prędkość kątowa?

[Nadine]

Najbardziej co oznaczają oznaczenia we wzorze

Dodano po 8 minutach 56 sekundach:
Szukałam i nigdzie nie mogę znaleźć przykładowego rozwiązania, myślę że gdybym zobaczyła wyznaczenie v dla losowych r i kąta, zrozumiałabym o co chodzi

[janusz47]

Przykład ruchu cząstki w biegunowym układzie odniesienia.

Cząstka o masie \(\displaystyle{ m = 4 \ \ kg }\) porusza się po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r = 3 \ \ m }\) z prędkością \(\displaystyle{ v = 4,5 \ \ \frac{m}{s}.}\)

a) Jeśli cząstka rozpoczyna ruch w punkcie o współrzędnych kartezjańskich \(\displaystyle{ ( 3 m, 0 ) }\) i jej przemieszczenie kątowe (droga kątowa) wynosi \(\displaystyle{ 9\ \ rad,}\) to jaki jest jej wektor przemieszczenia ? Proszę wyrazić go w notacji wektorów jednostkowych.

b) W której ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych znajduje się cząstka ?

c) Jaki jest wektor prędkości cząstki ? Proszę zapisać go w notacji wektorów jednostkowych.

d) Jaki jest wektor przyśpieszenia cząstki ? Proszę zapisać go w notacji wektorów jednostkowych.

e) Jaka wypadkowa siła działa na cząstkę ? Proszę wyrazić ją w notacji wektorów jednostkowych.

Dane

\(\displaystyle{ m = 4 \ \ kg. }\)

\(\displaystyle{ r = 3 \ \ m. }\)

\(\displaystyle{ v = 4,5\ \ \frac{m}{s}. }\)

Rozwiązanie

Współrzędne kartezjańskie położenia cząstki

\(\displaystyle{ x = r\cos(\theta) , \ \ y = r\sin(\theta). }\)

\(\displaystyle{ 360^{o} = 2\pi \ \ rad \rightarrow \theta ^{o} = \frac{360}{2\pi}\cdot \theta(rad).}\)

\(\displaystyle{ \theta = \frac{360}{2\pi}\cdot 9 \ \ rad \approx 516^{o}.}\)

a) \(\displaystyle{ x = 3\cos(516^{o}) \approx -2,74 \ \ m. }\)

\(\displaystyle{ y = 3 \cos(516^{o}) \approx 1, 22 \ \ m. }\)

a)

\(\displaystyle{ \vec{r} = r \cdot \hat{r} = [-2,74; \ \ 1,22] \cdot [\vec{i}, \vec{j} ] = (-2,74 \vec{i} + 1,22 \vec{j} ) \ \ m.}\)

b)

\(\displaystyle{ \theta = 516^{0} - 360^{0} = 156^{o}. }\)

Cząstka znajduje się w drugiej ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.

c)

\(\displaystyle{ 156^{o} = 90^{o} + 66^{o} }\)

\(\displaystyle{ v_{x}= = 4,5 \cdot \cos(66^{o})\approx 1,83 \frac{m}{s}. }\)

\(\displaystyle{ v _{y} = 4,5 \cdot \sin(66^{o})\approx 4,11 \frac{m}{s}. }\)

\(\displaystyle{ \theta = 180^{o} + 66^{o} = 246^{o} }\)

\(\displaystyle{ \vec{v} = v \cdot \hat{v} = ( -1,83 \vec{i} - 4,11 \vec{j}) \frac{m}{s}. }\)

d)

\(\displaystyle{ a = \frac{v^2}{r} = \frac{4,5^2}{3} = 6,75 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)

\(\displaystyle{ a_{x} = 6,75\cdot \cos(24^{o}) \approx 6,16 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)

\(\displaystyle{ a_{y} = 6,75 \cdot \sin(24^{o}) \approx 2,74 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)

\(\displaystyle{ \vec{a} _{r} = a_{r}\cdot \hat{a}_{r} = [a_{x}, \ \ a_{y}] \cdot [\vec{i}, -\vec{j}] \ \ \frac{m}{s^2} = (6,16 \vec{i} - 2,74 \vec{j}) \frac{m}{s^2}. }\)

e)

\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = m \cdot\vec{a}_{r} = 4 \cdot ( 6,16\vec{i} - 2,74 \vec{j} ) N = (24,64 \vec{j} + 10,96\vec{j}) N.}\)

Dodano po 9 godzinach 55 minutach 4 sekundach:
Korekta

e)

\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = = 4( 6,16 \vec{i} - 2,74\vec{j}) \ \ N N = (24, 64\vec{i} - 10,96 \vec{j}) \ \ N.}\)

Dodano po 1 godzinie 57 minutach 47 sekundach:
\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = m\cdot \vec{a}_{r} = 4\cdot (6,16\vec{i} - 2,74\vec{j}) \ \ N = (24,64 \vec{i} - 10,96 \vec{j}) \ \ N.}\)