Biegunowy układ odniesienia
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Biegunowy układ odniesienia
Wytłumaczy mi ktoś na jakiej zasadzie znaleźć toru ruchu i prędkość od funkcji czasu w biegunowym układzie odniesienia. Rozumiem, że należy zrobić to pochodną ale gubię się przez brak wiedzy
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Biegunowy układ odniesienia
\(\displaystyle{ \vec{r} = r \hat{r} }\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\hat{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\theta}{dt} \hat{\theta} }\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}.}\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \hat{r} + r \frac{d\hat{r}}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\hat{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \frac{dr}{dt}\hat{r} + r\frac{d\theta}{dt} \hat{\theta} }\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}.}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 124
- Rejestracja: 24 paź 2019, o 21:28
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 1 raz
Re: Biegunowy układ odniesienia
Najbardziej co oznaczają oznaczenia we wzorze
Dodano po 8 minutach 56 sekundach:
Szukałam i nigdzie nie mogę znaleźć przykładowego rozwiązania, myślę że gdybym zobaczyła wyznaczenie v dla losowych r i kąta, zrozumiałabym o co chodzi
Dodano po 8 minutach 56 sekundach:
Szukałam i nigdzie nie mogę znaleźć przykładowego rozwiązania, myślę że gdybym zobaczyła wyznaczenie v dla losowych r i kąta, zrozumiałabym o co chodzi
-
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Biegunowy układ odniesienia
Przykład ruchu cząstki w biegunowym układzie odniesienia.
Cząstka o masie \(\displaystyle{ m = 4 \ \ kg }\) porusza się po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r = 3 \ \ m }\) z prędkością \(\displaystyle{ v = 4,5 \ \ \frac{m}{s}.}\)
a) Jeśli cząstka rozpoczyna ruch w punkcie o współrzędnych kartezjańskich \(\displaystyle{ ( 3 m, 0 ) }\) i jej przemieszczenie kątowe (droga kątowa) wynosi \(\displaystyle{ 9\ \ rad,}\) to jaki jest jej wektor przemieszczenia ? Proszę wyrazić go w notacji wektorów jednostkowych.
b) W której ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych znajduje się cząstka ?
c) Jaki jest wektor prędkości cząstki ? Proszę zapisać go w notacji wektorów jednostkowych.
d) Jaki jest wektor przyśpieszenia cząstki ? Proszę zapisać go w notacji wektorów jednostkowych.
e) Jaka wypadkowa siła działa na cząstkę ? Proszę wyrazić ją w notacji wektorów jednostkowych.
Dane
\(\displaystyle{ m = 4 \ \ kg. }\)
\(\displaystyle{ r = 3 \ \ m. }\)
\(\displaystyle{ v = 4,5\ \ \frac{m}{s}. }\)
Rozwiązanie
Współrzędne kartezjańskie położenia cząstki
\(\displaystyle{ x = r\cos(\theta) , \ \ y = r\sin(\theta). }\)
\(\displaystyle{ 360^{o} = 2\pi \ \ rad \rightarrow \theta ^{o} = \frac{360}{2\pi}\cdot \theta(rad).}\)
\(\displaystyle{ \theta = \frac{360}{2\pi}\cdot 9 \ \ rad \approx 516^{o}.}\)
a) \(\displaystyle{ x = 3\cos(516^{o}) \approx -2,74 \ \ m. }\)
\(\displaystyle{ y = 3 \cos(516^{o}) \approx 1, 22 \ \ m. }\)
a)
\(\displaystyle{ \vec{r} = r \cdot \hat{r} = [-2,74; \ \ 1,22] \cdot [\vec{i}, \vec{j} ] = (-2,74 \vec{i} + 1,22 \vec{j} ) \ \ m.}\)
b)
\(\displaystyle{ \theta = 516^{0} - 360^{0} = 156^{o}. }\)
Cząstka znajduje się w drugiej ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.
c)
\(\displaystyle{ 156^{o} = 90^{o} + 66^{o} }\)
\(\displaystyle{ v_{x}= = 4,5 \cdot \cos(66^{o})\approx 1,83 \frac{m}{s}. }\)
\(\displaystyle{ v _{y} = 4,5 \cdot \sin(66^{o})\approx 4,11 \frac{m}{s}. }\)
\(\displaystyle{ \theta = 180^{o} + 66^{o} = 246^{o} }\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = v \cdot \hat{v} = ( -1,83 \vec{i} - 4,11 \vec{j}) \frac{m}{s}. }\)
d)
\(\displaystyle{ a = \frac{v^2}{r} = \frac{4,5^2}{3} = 6,75 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)
\(\displaystyle{ a_{x} = 6,75\cdot \cos(24^{o}) \approx 6,16 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)
\(\displaystyle{ a_{y} = 6,75 \cdot \sin(24^{o}) \approx 2,74 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)
\(\displaystyle{ \vec{a} _{r} = a_{r}\cdot \hat{a}_{r} = [a_{x}, \ \ a_{y}] \cdot [\vec{i}, -\vec{j}] \ \ \frac{m}{s^2} = (6,16 \vec{i} - 2,74 \vec{j}) \frac{m}{s^2}. }\)
e)
\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = m \cdot\vec{a}_{r} = 4 \cdot ( 6,16\vec{i} - 2,74 \vec{j} ) N = (24,64 \vec{j} + 10,96\vec{j}) N.}\)
Dodano po 9 godzinach 55 minutach 4 sekundach:
Korekta
e)
\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = = 4( 6,16 \vec{i} - 2,74\vec{j}) \ \ N N = (24, 64\vec{i} - 10,96 \vec{j}) \ \ N.}\)
Dodano po 1 godzinie 57 minutach 47 sekundach:
\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = m\cdot \vec{a}_{r} = 4\cdot (6,16\vec{i} - 2,74\vec{j}) \ \ N = (24,64 \vec{i} - 10,96 \vec{j}) \ \ N.}\)
Cząstka o masie \(\displaystyle{ m = 4 \ \ kg }\) porusza się po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ r = 3 \ \ m }\) z prędkością \(\displaystyle{ v = 4,5 \ \ \frac{m}{s}.}\)
a) Jeśli cząstka rozpoczyna ruch w punkcie o współrzędnych kartezjańskich \(\displaystyle{ ( 3 m, 0 ) }\) i jej przemieszczenie kątowe (droga kątowa) wynosi \(\displaystyle{ 9\ \ rad,}\) to jaki jest jej wektor przemieszczenia ? Proszę wyrazić go w notacji wektorów jednostkowych.
b) W której ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych znajduje się cząstka ?
c) Jaki jest wektor prędkości cząstki ? Proszę zapisać go w notacji wektorów jednostkowych.
d) Jaki jest wektor przyśpieszenia cząstki ? Proszę zapisać go w notacji wektorów jednostkowych.
e) Jaka wypadkowa siła działa na cząstkę ? Proszę wyrazić ją w notacji wektorów jednostkowych.
Dane
\(\displaystyle{ m = 4 \ \ kg. }\)
\(\displaystyle{ r = 3 \ \ m. }\)
\(\displaystyle{ v = 4,5\ \ \frac{m}{s}. }\)
Rozwiązanie
Współrzędne kartezjańskie położenia cząstki
\(\displaystyle{ x = r\cos(\theta) , \ \ y = r\sin(\theta). }\)
\(\displaystyle{ 360^{o} = 2\pi \ \ rad \rightarrow \theta ^{o} = \frac{360}{2\pi}\cdot \theta(rad).}\)
\(\displaystyle{ \theta = \frac{360}{2\pi}\cdot 9 \ \ rad \approx 516^{o}.}\)
a) \(\displaystyle{ x = 3\cos(516^{o}) \approx -2,74 \ \ m. }\)
\(\displaystyle{ y = 3 \cos(516^{o}) \approx 1, 22 \ \ m. }\)
a)
\(\displaystyle{ \vec{r} = r \cdot \hat{r} = [-2,74; \ \ 1,22] \cdot [\vec{i}, \vec{j} ] = (-2,74 \vec{i} + 1,22 \vec{j} ) \ \ m.}\)
b)
\(\displaystyle{ \theta = 516^{0} - 360^{0} = 156^{o}. }\)
Cząstka znajduje się w drugiej ćwiartce prostokątnego układu współrzędnych.
c)
\(\displaystyle{ 156^{o} = 90^{o} + 66^{o} }\)
\(\displaystyle{ v_{x}= = 4,5 \cdot \cos(66^{o})\approx 1,83 \frac{m}{s}. }\)
\(\displaystyle{ v _{y} = 4,5 \cdot \sin(66^{o})\approx 4,11 \frac{m}{s}. }\)
\(\displaystyle{ \theta = 180^{o} + 66^{o} = 246^{o} }\)
\(\displaystyle{ \vec{v} = v \cdot \hat{v} = ( -1,83 \vec{i} - 4,11 \vec{j}) \frac{m}{s}. }\)
d)
\(\displaystyle{ a = \frac{v^2}{r} = \frac{4,5^2}{3} = 6,75 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)
\(\displaystyle{ a_{x} = 6,75\cdot \cos(24^{o}) \approx 6,16 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)
\(\displaystyle{ a_{y} = 6,75 \cdot \sin(24^{o}) \approx 2,74 \ \ \frac{m}{s^2}. }\)
\(\displaystyle{ \vec{a} _{r} = a_{r}\cdot \hat{a}_{r} = [a_{x}, \ \ a_{y}] \cdot [\vec{i}, -\vec{j}] \ \ \frac{m}{s^2} = (6,16 \vec{i} - 2,74 \vec{j}) \frac{m}{s^2}. }\)
e)
\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = m \cdot\vec{a}_{r} = 4 \cdot ( 6,16\vec{i} - 2,74 \vec{j} ) N = (24,64 \vec{j} + 10,96\vec{j}) N.}\)
Dodano po 9 godzinach 55 minutach 4 sekundach:
Korekta
e)
\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = = 4( 6,16 \vec{i} - 2,74\vec{j}) \ \ N N = (24, 64\vec{i} - 10,96 \vec{j}) \ \ N.}\)
Dodano po 1 godzinie 57 minutach 47 sekundach:
\(\displaystyle{ \Sigma \vec{F} = m\cdot \vec{a}_{r} = 4\cdot (6,16\vec{i} - 2,74\vec{j}) \ \ N = (24,64 \vec{i} - 10,96 \vec{j}) \ \ N.}\)