Proste nachylone pod kątem

[Niepokonana]

Witam

No bo nie było na lekcji o tym, jak się liczy równanie prostej \(\displaystyle{ k}\) nachylonej do prostej \(\displaystyle{ l}\) i teraz ja nie wiem, jak się to robi, proszę o pomoc. Bo ja będę miała z tego test i nie wiadomo, czy to będzie na teście...

Weźmy sobie taką prostą \(\displaystyle{ y=x}\). Jak obliczyć równanie prostej do niej nachylonej pod kątem \(\displaystyle{ \alpha=30 ^\circ}\) i pod kątem \(\displaystyle{ \beta = 60^ \circ}\) ?

[Thingoln]

Na początek narysowałbym prostą \(\displaystyle{ l}\), która będzie tą „wyjściową”. Wiemy, że jej współczynnik kierunkowy jest równy tangensowi kąta jej nachylenia do osi OX. Oznaczmy go jako \(\displaystyle{ a}\), a kąt ten jako \(\displaystyle{ \alpha}\). Mamy więc \(\displaystyle{ a = \tg \alpha}\).
Jeśli druga prosta, nazwijmy ją \(\displaystyle{ k}\), jest nachylona do prostej \(\displaystyle{ l}\) pod kątem \(\displaystyle{ \beta}\), to prosta \(\displaystyle{ k}\) jest nachylona do osi OX pod kątem \(\displaystyle{ \alpha + \beta}\). Oznaczmy współczynnik kierunkowy prostej \(\displaystyle{ k}\) jako \(\displaystyle{ b}\). Wówczas \(\displaystyle{ b = \tg (\alpha + \beta)}\). A więc prosta \(\displaystyle{ k}\) jest opisana wzorem
\(\displaystyle{ y = bx + c = \tg (\alpha + \beta) \cdot x + c}\) dla pewnej liczby \(\displaystyle{ c}\), którą obliczamy z równania, jeśli znamy punkt należący do tej prostej.

Ktoś mógłby napisać, czy przypadek, gdy prosta \(\displaystyle{ k}\) jest nachylona do osi OX pod kątem \(\displaystyle{ \alpha - \beta}\), wchodzi w grę? Podejrzewam, że traktujemy wtedy kąt jako ujemny i wychodzi na to samo.

[Niepokonana]

A dobra, dziękuję, muszę to sobie przemyśleć...

[Thingoln]

Najlepiej zrób rysunek i narysuj dwie proste, które będą początkowo przecinać się w punkcie na osi OX (aby lepiej zobaczyć). Zaznacz kąty między osią OX i pierwszą prostą (np. jako \(\displaystyle{ \alpha}\)) oraz między drugą i pierwszą prostą (np. \(\displaystyle{ \beta}\)), gdzie pierwsza prosta jest nachylona pod mniejszym kątem do osi niż druga. I z takiego rysunku można zobaczyć, że kąt, jaki tworzy druga prosta z osią OX, musi wynosić \(\displaystyle{ \alpha + \beta}\). A tangens tej sumy musi być jej współczynnikiem kierunkowym (jak to przy prostych).