Udowodnij, że pole jest nie większe niż.

[Tulio]

Dany jest okrąg o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2=25}\). Prosta \(\displaystyle{ y=x-3\sqrt{2}}\) przecina okrąg w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Udowodnij, że dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ C}\) leżącego na okręgu, pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest nie większe niż \(\displaystyle{ 32}\).

Miałem trzy pomysły. Wszystkie to droga przez mękę
Pomysł 1: Obliczyć \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) i dla dwóch \(\displaystyle{ C_1\left( x, \sqrt{25-x^2}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ C_2\left( x, -\sqrt{25-x^2}\right)}\) obliczyć pole z wektorów. Obliczenia nie z tej ziemi.

Pomysł 2. Obliczyć \(\displaystyle{ h}\) jako odległość punktu \(\displaystyle{ C}\) od prostej. Dochodzimy do obliczeń takich jak w pomyśle 1.

Pomysł 3. Obliczyć \(\displaystyle{ \left| AB\right| =8}\) zaś pole z \(\displaystyle{ P= \frac{abc}{4R} }\). Dochodzimy do jeszcze trudniejszych obliczeń, ale przynajmniej bez wartości bezwzględnej.

Jakieś pomysły?

[szw1710]

Masz cięciwę. Punkt \(C\) tworzy wierzchołek kąta wpisanego. Wszystkie kąty wpisane są równe. Są ich dwa rodzaje: \(\alpha\) oraz \(180^{\circ}-\alpha\), oba z tym samym sinusem. Boki trójkąta przyległe do tego kąta nie są większe niż \(10\). Będzie to dość grube oszacowanie. W każdym razie długość cięciwy generuje nam konkretny kąt \(\alpha\). Tak bym kombinował. Ponadto największe pole ma trójkąt równoramienny (ma przecież największą wysokość wśród tych trójkątów). Więc musisz zbadać trójkąt równoramienny, który jest większy.

[a4karo]

Wsk: odległość tej prostej od środka okręgu wynosi ?????
Stąd wyliczysz długość odcinka \(AB\). Zastanów się jaka może być największa wysokość trójkąta.

[Janusz Tracz]

Inny pomysł. Obliczyć pole największego trójkąta jaki ma podstawę \(\displaystyle{ 8}\) i jest wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ 5}\). Zauważ, że największy (co do pola) taki trójkąt musi mieć najdłuższą wysokość przy ustalonej podstawie. Najdłuższa wysokość będzie gdy poprowadzimy prostą prostopadłą do \(\displaystyle{ |AB|}\) przez środek \(\displaystyle{ |AB|}\) tak skonstruowany odcinek przejdzie przez środek okręgu o średnicy \(\displaystyle{ 10}\) więc łatwo wyznaczyć jego podział z tw. o przecinających się cięciwach w okręgu. Mamy zatem trójkąt o podstawie \(\displaystyle{ 8}\) i wysokości \(\displaystyle{ 8}\) (większe z rozwiązań wspomnianego równania) zatem \(\displaystyle{ P_{max}\Delta= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8=32 }\)

[Tulio]

No tak, wgryzłem się za bardzo i szukałem już największej wysokości z pochodnych (wynik wychodził poprawny, ale nie do wytłumaczenia w liceum w skończonym czasie). Dzięki bardzo.