Jednokładność dwóch parabol

[Niepokonana]

Jak sprawdzić, czy dwie parabole są jednodokładne? Potrzebujemy ich wierzchołka i co dalej?
Na przykład \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}}\) i obraz \(\displaystyle{ f(x)=2x^{2}}\). Ich środkiem jednokładności jest punkt \(\displaystyle{ W(0,0)}\).
Wydaje mi się, że skala \(\displaystyle{ k= \frac{1}{2}}\), bo druga parabola jest dwa razy węższa. Dobrze myślę?

[matmatmm]

Przypominam wzór ogólny na jednokładność \(\displaystyle{ J}\) o środku \(\displaystyle{ (a,b)}\) i skali \(\displaystyle{ k}\):

\(\displaystyle{ J(x,y)=k(x-a,y-b)+(a,b)}\)

Kandydata na jednokładność już masz: \(\displaystyle{ (a,b)=(0,0), k=\frac{1}{2}}\).

Sprawdź teraz, że obrazem pierwszej paraboli przez \(\displaystyle{ J}\) jest druga parabola.

[Niepokonana]

No to co \(\displaystyle{ (0,0)k\cdot (0-0;0-0)+(0;0)}\).
No to co. Skala nie może być dowolną liczbą rzeczywistą, ale jeżeli weźmiemy sobie dowolny punkt na paraboli i zrobimy jego jednokładność to dostaniemy skalę, prawda?

[matmatmm]

Ja podpowiedziałem ci już, że skala będzie wynosić \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a środkiem będzie \(\displaystyle{ (0,0)}\). Teraz pozostaje udowodnić, że istotnie taka jednokładność jest dobra.

W zadaniu nie tyle chodzi o wyliczenie środka i skali pod założeniem, że parabole są jednokładne, co chodzi o udowodnienie, że są jednokładne. A w tym celu to można po prostu zgadnąć jaki będzie środek i skala, tyle że trzeba potem udowodnić, że ta jednokładność jest dobra.

No to co \(\displaystyle{ (0,0)k\cdot (0-0;0-0)+(0;0)}\).

Co tutaj liczysz?

[Niepokonana]

No już sama na początku powiedziałam, jaka jest skala lol.
Ale jak to udowodnić? Nie umiem udowadniać...

[matmatmm]

Definicja figur jednokładnych:

Dwie figury \(\displaystyle{ P,Q}\) nazywamy jednokładnymi, gdy istnieje jednokładność \(\displaystyle{ J}\) taka, że obrazem \(\displaystyle{ P}\) przez \(\displaystyle{ J}\) jest \(\displaystyle{ Q}\).

Wiesz co to obraz zbioru przez funkcję?

[Niepokonana]

Eeee. Nie?

[matmatmm]

To trochę dziwne, bo rozwiązujesz zadanie, gdzie ta definicja jest niezbędna.

Obraz zbioru \(\displaystyle{ P}\) przez funkcję \(\displaystyle{ J}\), to zbiór wszystkich wartości \(\displaystyle{ J(p)}\), gdzie \(\displaystyle{ p\in P}\).

U ciebie zbiorem \(\displaystyle{ P}\) jest parabola, a \(\displaystyle{ J}\) to jednokładność. Uwaga: każdy element \(\displaystyle{ p\in P}\) to punkt na płaszczyźnie i ma dwie współrzędne, czyli \(\displaystyle{ p=(x,y)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x,y\in\RR}\).

[Niepokonana]

Nasza pani nam nigdy nie podawała takiej definicji. Wytłumacz mi trochę tę definicję bardziej.

[matmatmm]

A to są zadania ze szkoły, czy skąd?

Weźmy taki przykład: Niech \(\displaystyle{ f:\RR\rightarrow\RR}\) będzie funkcją o wzorze \(\displaystyle{ f(x)=2^x}\). I niech \(\displaystyle{ A=(0,5]}\).

Obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\) oznacza się na przykład przez \(\displaystyle{ f[A]}\) i jest to zbiór. W tym przypadku można go dokładnie policzyć, ale zacznę od dwóch przykładów:

\(\displaystyle{ 2\in f[A]}\), ponieważ \(\displaystyle{ f(x)=2}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in A}\), a dokładnie jest to \(\displaystyle{ x=1}\).
\(\displaystyle{ 33 \notin f[A]}\), ponieważ dla żadnego \(\displaystyle{ x\in A}\) nie zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=33}\)

Obraz można odczytać zazwyczaj z wykresu. Polecam takie ćwiczenie. Wynik to

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ f[A]=(1,32]}\)

[Niepokonana]

ja powinnam już porzucić naukę matematyki, bo jestem na to za tępa. Dlaczego od dwóch tygodni mi żadne zadania nie idą? A się uczę.
Czy A jest zbiorem i ten zbiór należy to funkcji f, tak? Do argumentów funkcji f?

[matmatmm]

\(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem, ale właśnie \(\displaystyle{ A}\) nie należy do zbioru argumentów funkcji \(\displaystyle{ f}\). Stąd inne nawiasy:

\(\displaystyle{ f(x)}\) - wartość funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\). (\(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru argumentów)
\(\displaystyle{ f[A]}\) - obraz zbioru \(\displaystyle{ A}\) przez funkcję \(\displaystyle{ f}\). (\(\displaystyle{ A}\) jest podzbiorem dziedziny)

Dodano po 2 minutach 37 sekundach:
Jeśli to są zadania ze szkoły, to jaką mieliście definicję figur jednokładnych? Możliwe, że wasza definicja nie zawiera pojęcia obrazu, bo jest inaczej sformułowana.

[Jan Kraszewski]

matmatmm, Niepokonana jest w liceum, więc nie katuj jej obrazem zbioru przez funkcję, bo w ogóle się zniechęci.

Nie sądzę, by chodziło tu o ten poziom formalności uzasadnienia, który próbujesz jej sprzedać.

JK

[Niepokonana]

Mieliśmy samą definicję jednokładności, nie było żadnej o figurach.
Jednokładnością o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) i skali \(\displaystyle{ S}\) nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny, w którym każdemu punktowi \(\displaystyle{ x}\) zostaje przypisany punkt \(\displaystyle{ x'}\) spełniający warunek \(\displaystyle{ OX'x=s*OX}\)

[Jan Kraszewski]

Weź zatem punkt z paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\), który ma postać \(\displaystyle{ (x,x^2)}\) i pokaż, że punkt przypisany mu przez jednokładność lezy na paraboli \(\displaystyle{ y=2x^2.}\)

JK