Okrąg i jakiś trójkąt w nim

[Niepokonana]

Witam


Dane są punkty \(\displaystyle{ A(1,2)}\) i \(\displaystyle{ B(3,4)}\). Znajdź równanie opisujące zbiór wszystkich punktów płaszczyzny \(\displaystyle{ C(x,y)}\), takich że \(\displaystyle{ |AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2}}\).
Domyślam się, że \(\displaystyle{ C}\) to jest środek okręgu i punkt przy kącie prostokątnym.
Czyli, że trzeba znaleźć \(\displaystyle{ C}\) a potem zrobić z tego równanie. Ale jak, proszę o pomoc.
No i w najbliższym czasie zamierzam zaspamić forum zadaniami, bo to się zaczyna nagromadzać.

[a4karo]

A jak patrzysz na to równanie, to co widzisz?
Zrobiłaś rysunek?

I skąd pomysł, że to chodzi o cięciwy?

[Niepokonana]

A nie, bo miało być zadanie o cięciwach, ale jak tak je pisałam, to rozwiązałam je w pamięci, więc dałam inne, ale nie skasowałam informacji o cięciwach, przepraszam.
Ja zrobiłam rysunek w głowie (czytelniejszy niż w prawdziwym życiu). To jest trójkąt prostokątny równoramienny, bo wtedy \(\displaystyle{ C}\) jest środkiem okręgu i bok \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) to promienie. Czyli \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BC}\) są sobie równe co nie.
A więc czyżbyś sugerował, żeby obliczyć punkt \(\displaystyle{ C}\) przy założeniu \(\displaystyle{ |BC|=|AC|}\) ze wzoru na długość odcinka?

[a4karo]

Nie. Myśl dalej. Skąd pomysł, że środek okręgu jest tam?

Dodano po 1 minucie 45 sekundach:
572-497 pne

[Niepokonana]

a4karo w takim wypadku nie wiem

[Jan Kraszewski]

572-497 pne

A może tak:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Pitagoras

JK

[Niepokonana]

Wiedzą panowie, że ja się nie znam na historii, co nie, a dają mi panowie datę. W takim razie powiem jeszcze, że na geografii też się nie znam i mogą panowie następnym razem dać mi mapę, to też nie zrozumiem.
A że twierdzenie Pitagorasa? Ale co mi to da? Mogę policzyć \(\displaystyle{ |AB|}\), ale co po tym? No wiem, że to jest zadanie z twierdzeniem Pitagorasa, ale jak ja mam je wykorzystać?

[Jan Kraszewski]

Raczej twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, które daje Ci, że kąt przy wierzchołku \(C\) jest kątem prostym. No i teraz może skojarzysz to z kątem wpisanym w okrąg opartym na średnicy okręgu.

JK

[Niepokonana]

No to, że to jest kąt prosty to wiem, ale o kątach wpisanych w okrąg to ja nie wiem. Wiem tylko, że to jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\).

[Jan Kraszewski]

No to, że to jest kąt prosty to wiem,

A wiesz skąd to wiesz?

ale o kątach wpisanych w okrąg to ja nie wiem.

Nie słyszałaś o taki pojęciu?

Wiem tylko, że to jest \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} }\).

Jakie TO?

Przypomnij sobie, o co jesteś pytana w tym zadaniu.

JK

[Niepokonana]

Pytają mnie o równanie okręgu.
No ja wiem z twierdzenia odwrotnego do Pitagorasa tak na logikę.
No to jest radian kąta prostego i nie, nie słyszałam. I jestem święcie przekonana, że \(\displaystyle{ C}\) to środek okręgu.

[Jan Kraszewski]

Pytają mnie o równanie okręgu.

A skąd wiesz, że chodzi o okrąg?

No to jest radian kąta prostego

Co to jest "radian kąta prostego"?

I jestem święcie przekonana, że \(\displaystyle{ C}\) to środek okręgu.

Zauważ, że to się nie trzyma kupy. Masz opisać zbiór tych punktów \(\displaystyle{ C}\) na płaszczyźnie, dla których zachodzi równanie \(\displaystyle{ |AC|^{2}+|BC|^{2}=|AB|^{2}.}\) A potem twierdzisz, że "\(\displaystyle{ C}\) to środek okręgu". Co to ma oznaczać?

Mam pewien kłopot z ustaleniem, co tak naprawdę masz na myśli.

JK

[Niepokonana]

Teraz to ja też. A może chodzi o trójkąt a nie o okrąg? Ja już sama nie wiem. No w odpowiedzi jest równanie okręgu \(\displaystyle{ (x-4)^{2}+(y+3)^{2}=25}\)

[Jan Kraszewski]

To jest ładne zadanie geometryczne na kojarzenie faktów. Pierwszy fakt to twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa, które mówi, że jeśli punkt \(\displaystyle{ C}\) spełnia warunek w zadaniu, to trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny z kątem prostym przy wierzchołku \(\displaystyle{ C}\). Drugi fakt jest taki, że kąt wpisany w okrąg jest prosty dokładnie wtedy, gdy jest oparty na średnicy okręgu (bo jest wtedy połową kąta środkowego półpełnego, opartego na półokręgu). Stąd możemy szybko wywnioskować, jaką figurę tworzą punkty \(\displaystyle{ C}\) spełniające zadany warunek i jakie jest jej równanie.

JK

[Jan Kraszewski]

A ta odpowiedź to nie do tego zadania...

JK