Znaleźć prostą przechodzącą...

[MichalProg]

Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (2,3)}\) wiedząc że jej odcinek zawarty między prostymi
\(\displaystyle{ 3x+4y-7=0}\)
\(\displaystyle{ 3x+4y+8=0}\)
jest równy \(\displaystyle{ 3 \sqrt{2} }\)

Proszę o podpowiedź co do sposobu rozwiązania

[a4karo]

Każda prosta przechodząca przez ten punkt (za wyjątkiem jednej) ma równanie \(y-3=a(x-2)\)

[JHN]

Odległość pomiędzy danymi prostymi jest łatwa do policzenia i równa \(\displaystyle{ 3}\), zatem szukana prosta musi być nachylona do danych prostych pod kątem \(\displaystyle{ 45^o}\), bo...
Pozostaje policzyć \(\displaystyle{ a_{1,2}=\tan\left( \alpha \pm \frac{ \pi }{4} \right) }\), gdzie \(\displaystyle{ \tan \alpha =- \frac{3}{4} }\), bo ...
i skorzystać ze wzoru podanego przez @ a4karo

Pozdrawiam

[kerajs]

Inaczej:
Na jednej z podanych prostych wybierasz dowolny punkt P (np: \(\displaystyle{ P=(1,1)}\) na \(\displaystyle{ 3x+4y-7=0}\) ) .Będzie on środkiem okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 3 \sqrt{2}}\) ( czyli \(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-1)^2=18}\) ) . Wyznaczasz przecięcie tego okręgu z drugą prostą, tj. rozwiązujesz układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+4y+8=0 \\ (x-1)^2+(y-1)^2=18 \end{cases} }\)
Tu akurat są dwa rozwiązania czyli dwa punkty: Q i R. Rozwiązaniem zadania będzie prosta równoległa do prostej PQ (i prosta równoległa do prostej PR) przechodząca przez zadany punkt \(\displaystyle{ (2,3)}\).

[a4karo]

Konstrukcyjnie banalne :

Przez zadany punkt prowadzimy prostą równoległą do zadanych prostych i prostą prostopadłą do niej. Dwusieczne kątów między nimi są szukanymi prostymi