Prosta i odległość od punktu

[Niepokonana]

Witam
Wyznacz równanie ogólne prostej liniowej przechodzącej przez punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ x-y=1}\) i \(\displaystyle{ 2x+y=8}\) oraz odległej od początku układu współrzędnych o \(\displaystyle{ \frac{6}{5}}\).
Domyślam się, że początek układu to \(\displaystyle{ (0,0)}\), umiem policzyć, gdzie się dwie proste przecinają, ale co dalej? Proszę o pomoc.

[Jan Kraszewski]

A znasz wzór na odległość punktu od prostej?

JK

[Niepokonana]

No w sumie znam, ale mi nie wychodzi.
\(\displaystyle{ \frac{|A\cdot x_{p}+B\cdot y_{p}+C|}{ \sqrt{A^{2}+B^{2} }}}\)
A jak go zastosuję to mi wyjdzie i będzie koniec zadania?
EDIT: Ale jak wsadzić ten wzór do tego zadania?

Dodano po 7 minutach 36 sekundach:
Ja myślę, że skoro \(\displaystyle{ (0,0)}\) to z tego wzoru możemy wyliczyć \(\displaystyle{ C}\), ale mi to nie wychodzi. A potem podstawić do tego punktu i policzyć A przy iksie i będzie wzór.

[Jan Kraszewski]

Szukasz prostej w postaci \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\). By wyznaczyć to równanie, potrzebujesz dwóch informacji, które pozwolą Ci wyznaczyć współczynniki. Pierwszą informację uzyskasz korzystając z tego, że punkt, którego współrzędne wyznaczysz należy do tej prostej. Drugą informację uzyskasz licząc odległość punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) od tej prostej (a z treści zadania wiesz, ile ona wynosi).

Pokaż rachunki.

JK

[Niepokonana]

Za chwilę, najpierw je napiszę.

Dodano po 3 minutach 35 sekundach:
eee... Policzyłam z układu równań, że punkt, przez który ma przechodzić ta prosta to \(\displaystyle{ P(3, 2)}\).
I \(\displaystyle{ \frac{6}{5}= \frac{|C|}{ \sqrt{A^{2}+B^{2}} }}\) i to w sumie tyle... Co dalej?

[Jan Kraszewski]

No dobrze, i co to znaczy, że ta prosta przechodzi przez \((3,2)\) ?

JK

[Niepokonana]

No to znaczy, że dla argumentu \(\displaystyle{ 3}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 2}\), czyli że punkt należy do tej prostej.

[Jan Kraszewski]

No i co z tego wynika? Może jakieś równanie?

JK

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ 2b=3a+c}\) Nie mam pomysłu na lepsze równanie.

[Jan Kraszewski]

A skąd je wzięłaś?

Wiesz, że prosta \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (3,2)}\) (wiesz?). Co to znaczy?

JK

[Niepokonana]

No że... \(\displaystyle{ 0=3x-2y+C}\) Tak myślę, ale nie wiem w ogóle.

[Jan Kraszewski]

Ale czego nie wiesz "w ogóle"? Czy wiesz, jakie jest znaczenie tych pięciu literek w równaniu \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\) ? Które z nich oznaczają współczynniki, a które zmienne? Pamiętaj, matematyka to nie jest sztuka czarowania znaczkami, te wszystkie symbole mają swoje znaczenie i jeśli chcesz sensownie się tej matematyki uczyć, to musisz to znaczenie poznać.

Na razie niestety wstawiasz "na ślepo", co jest tak samo bezpieczne, jak prowadzenie samochodu z zamkniętymi oczami.

JK

[Niepokonana]

Panie Adminie, bo ja nie umiem tego zadania i nie wiem, jak je rozwiązać.
No bo to jest postać ogólna funkcji.
\(\displaystyle{ A}\) to jest liczba przy iksie \(\displaystyle{ x}\) to jest argument \(\displaystyle{ B}\) to jest liczba przy igreku, a \(\displaystyle{ c}\) to wyraz wolny i to wszystko jest liczbami całkowitymi.
Zmienne to \(\displaystyle{ a}\) \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) a \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to są współrzędne...
Ale ja nie wiem, co mam z tym zrobić...

[Jan Kraszewski]

Panie Adminie, bo ja nie umiem tego zadania i nie wiem, jak je rozwiązać.

To widzę, a mimo to złośliwie chcę, byś je rozwiązała sama...

No bo to jest postać ogólna funkcji.

Zgadza się. Rozumiesz sposób, w jaki opisuje ona prostą?

\(\displaystyle{ A}\) to jest liczba przy iksie \(\displaystyle{ x}\) to jest argument \(\displaystyle{ B}\) to jest liczba przy igreku, a \(\displaystyle{ c}\) to wyraz wolny i to wszystko jest liczbami całkowitymi.

Po pierwsze nie \(\displaystyle{ c}\), tylko \(\displaystyle{ C}\). Po drugie, nie wiem skąd pomysł, że są to liczby całkowite. To nieprawda, to są liczby rzeczywiste (choć w prostych zadaniach istotnie często mamy do czynienia z liczbami całkowitymi, ale można to uznać co najwyżej za korzystny zbieg okoliczności...).

Zmienne to \(\displaystyle{ a}\) \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\) a \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) to są współrzędne...

Tu nie ma żadnych \(\displaystyle{ a,b,c}\) !

Ale ja nie wiem, co mam z tym zrobić...

Zrozumieć... Nie spiesz się, do rozwiązania jeszcze kawałek, masz trochę rzeczy do zrozumienia.

Jeżeli chcesz sprawdzić, czy punkt \(\displaystyle{ (1,1)}\) należy do prostej \(\displaystyle{ 2x-y-1=0}\), to co robisz?

JK

[Niepokonana]

Aj tam wcale nie złośliwie, ja też bym chciała to sama rozwiązać.
Ja zazwyczaj zmieniam na tę normalną postać funkcji i podstawiam, ale w sumie można też podstawić do postaci ogólnej.
To będzie \(\displaystyle{ L=2*1-1*1-1=2-1-1=0=P}\) Najwyraźniej ten punkt należy do takiej prostej. No bo ja podstawiłam za iksa i za igreka.