Prosta i odległość od punktu

[Niepokonana]

Ale jak się uprości...
\(\displaystyle{ 3Ax- \frac{63}{16}+ \frac{39}{8}=0 }\)
\(\displaystyle{ 3Ax- \frac{3}{4} - \frac{3}{2}=0 }\)

[Jan Kraszewski]

Trenujesz moją cierpliwość...

Ale jak się uprości...
\(\displaystyle{ 3Ax- \frac{63}{16}+ \frac{39}{8}=0 }\)
\(\displaystyle{ 3Ax- \frac{3}{4} - \frac{3}{2}=0 }\)

Skąd Ty bierzesz te dziwne równania? Podstawianie do wzoru to naprawdę nie jest duża filozofia.

1. Wzór: \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\)

2. Dane: \(\displaystyle{ B=-\frac{63}{16}A,\ \ C= \frac{39}{8}A }\) (na razie jeden przypadek)

3. Polecenie: podstaw Dane do Wzoru.

JK

[Niepokonana]

Dobrze, jutro to zrobię, muszę iść spać, dobranoc.

[a4karo]

Wszystkie proste przechodzące przez punkt \((3,2)\) mają równanie \(y-2=a(x-3)\). (OK, nie wszystkie, bo prostej \(x=3\) w ten sposób nie dostaniemy, ale ona nie spełnia warunków zadania). Żeby prosta była odległa od początku układu o \(6/5\), to musi być styczna do okręgu \(x^2+y^2=(6/5)^2\), a więc równanie
$$x^2+(2+a(x-3))^2=(6/5)^2$$
ma mieć jedno rozwiązanie. Jego wyróżnik zatem musi być zerowy, a to daje proste równianie kwadratowe na parametr \(a\)

[kruszewski]

Tak i rozwiązanie, wraz z rysunkiem do niego, wyrzuciłem do kosza. Przespałem okazję zaistnienia.

[janusz47]

Metoda odległości punktu od prostej - podsumowanie wczorajszych rozwiązań

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ \frac{|C|}{\sqrt{A^2 +B^2}} = \frac{6}{5} \\ 3A +2B + C = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ \frac{|C|}{\sqrt{A^2 +B^2}} = \frac{6}{5} \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ \frac{|-3A-2B|}{\sqrt{A^2 +B^2}} = \frac{6}{5} \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ \frac{|3A+2B|}{\sqrt{A^2 +B^2}} = \frac{6}{5} \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ \frac{|3A+2B|^2}{\sqrt{A^2 +B^2}^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ \frac{|3A+2B|^2}{\sqrt{A^2 +B^2}^2} = \left(\frac{6}{5}\right)^2 \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ \frac{9A^2 +12AB +4B^2}{A^2 +B^2} = \frac{36}{25} \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ 225A^2 +300 AB +100B^2= 36A^2+36B^2 \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ 64B^2 +300AB +189A^2 = 0 \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ 64B^2 +300AB +189A^2 = 0,\ \ \Delta = 90000A^2- 4\cdot 64 \cdot 189A^2 = 41616A^2, \ \ \sqrt{\Delta}= 204A, \\ B_{1} = \frac{-300A+204A}{128} = -\frac{96}{128}A = -\frac{3}{4}A, \ \ B_{2} = \frac{-300A- 204A}{128}= -\frac{63}{16}A \\ C = -3A -2B \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} Ax +By + C = 0 \\ B_{1}= -\frac{3}{4}A, \ \ B_{2}= -\frac{63}{16}A \\ C_{1} = -3A -2\cdot \left(-\frac{3}{4}A \right) = -3A+\frac{6}{4}A -\frac{6}{4}A=-\frac{3}{2}A, \ \ C_{2}=-3A+2\cdot \frac{63}{16}A = -3A +\frac{63}{8}A = \frac{39}{8}A \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ Ax +B_{1}y + C_{1} = Ax - \frac{3}{4}Ay -\frac{3}{2}A=0 |:A \\ Ax +B_{2}y + C_{2} = Ax -\frac{63}{16}Ay +\frac{39}{8}A= 0 |:A }\)

\(\displaystyle{ x -\frac{3}{4}y -\frac{3}{2} =0 | \cdot 4 \\ x - \frac{63}{16}y + \frac{39}{8}= 0 |\cdot 16 }\)

\(\displaystyle{ 4x - 3y - 6 =0 \\ 16x - 63y + 78 = 0 }\)

[Jan Kraszewski]

janusz47, a czy Ty rozumiesz, że Niepokonana powinna to sama do końca policzyć? Ja wiem, że pisanie gotowców dobrze Ci idzie, ale nie zawsze chodzi o gotowca.

JK

[janusz47]

Pani Niepokonana nie rozumiała w pełni co oblicza. Po dzisiejszym spojrzeniu na tego gotowca powinna zrozumieć sens i rozwiązanie zadania metodą, którą Pan starał się jej wczoraj tłumaczyć.

[kruszewski]

Kolejne posty gotowca przywodzą mi na myśl wiersze radiodepeszy z kodem cyfrowym bez jego książki.
Toż to przykład najgorszego sposobu uczenia, choć najlepszy pokazywania swojej sprawności rachunkowej.

[a4karo]

Ten gotowiec to niestety ściana znaczkow a nie rozwiązanie. Założenie że xxx zrozumie dlaczego jest tak a nie inaczej może nie być prawdziwe

[Niepokonana]

No bo to jest tak, że uzależniliśmy \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) od \(\displaystyle{ A}\) jakimś dziwnym sposobem i teraz na tej podstawie robimy równanie.
To będzie bez A, bo A się skróci: \(\displaystyle{ x- \frac{63}{16}y+ \frac{39}{8}=0 }\)

Ooo, cześć a4karo, myślałam już, że nie będziesz chciał rozwiązać zadania ze swojego ulubionego tematu.
Janusz sorry, ale sposób a4karo jest prostszy niż Twój, chociaż nie wiem, skąd on wiedział, jakie proste przechodzą przez \(\displaystyle{ P}\).

[a4karo]

@Niepokonana A kto Ci powiedział, że to mój ulubiony temat?
Swoją drogą, skoro nie wiesz dlaczego takie proste przechodzą przez ten punkt, to powinnaś przyglądać mu się tak długo, aż zrozumiesz.

To już nie pierwszy raz, że czytasz rozwiązanie i komentujesz tak: fajnie, nie rozumiem tego i tego ale skoro tak mówią, to tak jest.

Uczenie się matematyki nie polega na robieniu zadań, tylko na rozumieniu jak i dlaczego tak właśnie się je rozwiązuje.

[Niepokonana]

Ty lubisz wszystko, gdzie się rysuje. To, co powiedziałeś, ma sens, ale sama bym tego nie wyprowadziła... To jest przesuwanie funkcji do góry, na dół i na boki, pamiętam to. Ale to z promieniami to rozumiem, bo to dzisiaj miałam na lekcji.
Panie Adminie, to już koniec zadania czy nie?

[Jan Kraszewski]

No bo to jest tak, że uzależniliśmy \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) od \(\displaystyle{ A}\) jakimś dziwnym sposobem i teraz na tej podstawie robimy równanie.

To prześledź jeszcze raz to, co robiłaś, to może odkryjesz, na czym polega ten "dziwny sposób".

To będzie bez A, bo A się skróci: \(\displaystyle{ x- \frac{63}{16}y+ \frac{39}{8}=0 }\)

Dobrze, teraz drugie równanie.

Janusz sorry, ale sposób a4karo jest prostszy niż Twój, chociaż nie wiem, skąd on wiedział, jakie proste przechodzą przez \(\displaystyle{ P}\).

To co napisał janusz47 to są dokładnie te rachunki, które wykonywałaś, w wersji "ściana znaczków".

Sposób a4karo wymaga pewnej wyobraźni geometrycznej do zapisania potrzebnych warunków. W tym sensie sposób zaproponowany przeze mnie jest mniej wymagający (ale na pewno dużo bardziej żmudny i przez to mniej elegancki).

JK

[a4karo]

Ty lubisz wszystko, gdzie się rysuje. To, co powiedziałeś, ma sens, ale sama bym tego nie wyprowadziła... To jest przesuwanie funkcji do góry, na dół i na boki, pamiętam to. Ale to z promieniami to rozumiem, bo to dzisiaj miałam na lekcji.

Zabawne, nigdy o tym nie myślałem w tych kategoriach. Dla mnie po prostu jest to równanie prostej, a jak się wstawi \(x=3, y=2\) to się dostatnie \(0=0\)