Prosta i odległość od punktu

[Niepokonana]

\(\displaystyle{ x- \frac{3}{4}y - \frac{3}{2} =0 }\)

[a4karo]

I co to ma być?

[Niepokonana]

No to jest wzór drugiej funkcji, bo są dwie i jedną napisałam wcześniej. Dobra, tak szczerze, jak dowiedziałam się, że pan Janusz dał gotowiec, to nie przeczytałam jego postu.

[a4karo]

Na drugi raz nie pisz po kawałku, tylko napisz pełną odpowiedź. Swoją drogą, kiedy wreszcie nauczysz się to pokazywać swoje rachunki, a nie tylko zapisy typu :wyszło mi 7.2

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x- \frac{3}{4}y - \frac{3}{2} =0 }\)

Dobrze.

Na drugi raz nie pisz po kawałku, tylko napisz pełną odpowiedź. Swoją drogą, kiedy wreszcie nauczysz się to pokazywać swoje rachunki, a nie tylko zapisy typu :wyszło mi 7.2

a4karo, ale to była odpowiedź dla mnie, więc ja wiem, o co chodzi i skąd się wzięło (rachunki też były), bo to końcówka długiej rozmowy.

JK

[Niepokonana]

Dziękuję bardzo Panie Adminie, teraz trzeba to tylko wpisać do zeszytu.
Strasznie dużo to zajęło, ale się udało. ^^

[Jan Kraszewski]

To jak będziesz wpisywała, to postaraj się zrozumieć, co robisz w kolejnych krokach.

JK

[Niepokonana]

ok

[janusz47]

Metoda długości wektora prostopadłego do prostej

Równanie prostej "przechodzącej" przez punkt \(\displaystyle{ P(3,2) }\)

\(\displaystyle{ y = a(x - 3) +2 \ \ (1) }\)

Równanie prostej prostopadłej prostej \(\displaystyle{ (1) }\) i przechodzącej przez początek układu współrzędnych

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{a}x \ \ (2) }\)

Znajdujemy współrzędne \(\displaystyle{ (x_{p},\ \ y_{p}) }\) punktu przecięcia się prostych \(\displaystyle{ (1), (2),}\)

rozwiązując układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = a(x - 3) +2 \\ y = -\frac{1}{a}x \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a(x - 3) + 2 = -\frac{1}{a} \\ y = -\frac{1}{a}x \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} ax + \frac{1}{a}x = 3a -2 \\ y = -\frac{1}{a}x \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \left( a + \frac{1}{a}\right)x = 3a -2 \\ y = -\frac{1}{a}x \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a^2 +1}{a} x = 3a - 2 \\ y = -\frac{1}{a}x \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{p}= \frac{a(3a - 2)}{a^2+1} \\ y_{p} = -\frac{1}{a} x_{p} \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{p}= \frac{a(3 a-2)}{a^2+1} \\ y_{p} = -\frac{1}{a} \cdot \left( \frac{(3a -2)}{a^2+1}\right) \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{p}= \frac{a(3 a-2)}{a^2+1} \\ y_{p} = -\frac{a(3a -2)}{a^2+1} \end{cases} }\)

Długość wektora prostopadłego w do prostej \(\displaystyle{ (1) }\) równa jej odległości od początku układu współrzędnych

\(\displaystyle{ w = \sqrt{ (x_{p} -0)^2 +(y_{p} -0 )^2 } = \frac{6}{5} }\)

Kwadrat długości

\(\displaystyle{ w^2 = (x_{p} -0)^2 +(y_{p} -0 )^2 = \frac{36}{25} }\)

Uwzględniając współrzędne \(\displaystyle{ (x_{p}, y_{p}) }\) otrzymujemy równanie wymierne

\(\displaystyle{ \frac{a^2(3a -2)^2}{(a^2 + 1)^2} + \frac{(3a - 2)^2}{(a^2 +1)^2} = \frac{36}{25} }\)

\(\displaystyle{ \frac{(3a -2)^2(a^2 +1)}{(a^2 +1)^2} = \frac{36}{25} }\)

\(\displaystyle{ \frac{(3a -2)^2}{a^2 +1} = \frac{36}{25} }\)

Mnożąc "na krzyż"

\(\displaystyle{ 25( 3a -2)^2 = 36(a^2 +1) }\)

\(\displaystyle{ 25( 9a^2 -12 a +4) = 36(a^2 +1) }\)

\(\displaystyle{ 225a^2 -300a +100 = 36a^2 +36 }\)

\(\displaystyle{ 189a^2 -300 a + 64 =0 }\) - otrzymaliśmy znane już z poprzedniej metody równanie kwadratowe, którego rozwiązaniami są

\(\displaystyle{ a_{1} = \frac{4}{3}, \ \ a_{2} = \frac{16}{63} \ \ (3) }\)

Podstawiając \(\displaystyle{ (3)}\) do \(\displaystyle{ (1) }\) - znajdujemy równania szukanych prostych w postaci kierunkowej

\(\displaystyle{ y = \frac{4}{3}(x -3) +2, \ \ y = \frac{16}{63}(x- 3) +2 }\)

lub ogólnej

\(\displaystyle{ 4x -3y -6 = 0, \ \ 16x -63y +78 = 0.}\)

[a4karo]

Za skomplikowane...
Niech \(\displaystyle{ X=(x,y)}\) będzie punktem styczności szukanej prostej z okręgiem. Wtedy trójkąt o wierzchołkach \(\displaystyle{ X,O=(0,0),A=(3,2)}\) jest prostokątny i z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ OX^2+XA^2=OA^2}\), oraz \(\displaystyle{ x^2+y^2=(6/5)^2=1.44}\).
Innymi słowy mamy prosty układ
$$\begin{cases}1.44+(3-x)^2+(2-y)^2&=13\\x^2+y^2&=1.44\end{cases}$$
lub równoważnie
$$\begin{cases}3x+2y&=1.44\\x^2+y^2&=1.44\end{cases}$$

Jego rozwiązanie nie nastręcza trudności

Dodano po 49 minutach 23 sekundach:
=============================================================================
Bzdury to wszystko. W tym zdaniu prawie nic nie trzeba liczyć.
W oznaczeniach \(\displaystyle{ O=(0,0), A=(3,2), P=(3,0)}\) oraz \(\displaystyle{ X}\) - punkt (a raczej dwa punkty) styczności szukanej prostej z danym okręgiem.
Trójkąt \(\displaystyle{ OXA}\) jest prostokątny i ma boki \(\displaystyle{ \frac{6}{5}, \frac{17}{5}, \sqrt{13}}\)
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) kąty przy wierzchołku \(\displaystyle{ O}\) trójkątów \(\displaystyle{ OPA}\) i \(\displaystyle{ OXA}\) odpowiednio.

Wtedy \(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{2}{3}}\) zaś \(\displaystyle{ \tan \beta=\frac{17}{6}}\). Kąt jaki prosta \(\displaystyle{ OX}\) tworzy z osią poziomą wynosi \(\displaystyle{ \alpha+\beta}\) w przypadku pierwszego rozwiązania i \(\displaystyle{ \alpha-\beta}\) w przypadku drugiego rozwiązania.

W pierwszym przypadku mamy
$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}=-\frac{63}{16}$$
w drugim zaś
$$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=-\frac{3}{4}$$

A ponieważ proste \(\displaystyle{ OX}\) są prostopadłe do prostych \(\displaystyle{ XA}\), to współczynniki kierunkowe tych drugich są równe \(\displaystyle{ -\frac{16}{63}}\) i \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) odpowiednio, zaś ich równania to
$$y-2=\frac{16}{63}(x-3) \qquad \text{ oraz} \qquad y-2=\frac{4}{3}(x-3)$$

[janusz47]

Zadanie o podobnej treści było już na tym forum i jego sposób rozwiązania podał Pan szw1710.

viewtopic.php?t=329921

[kruszewski]

Można pokazać, że kąt jaki tworzy odcinek miary \(\displaystyle{ \frac{6}{5}}\) z osią \(\displaystyle{ y}\) jest równy \(\displaystyle{ \gamma = \alpha - \beta}\) , którego tangens (vide post a4karo) jest równy: \(\displaystyle{ \tg \gamma =\tg ( \alpha - \beta ) = - \frac{3}{4} }\)

Zauważymy, że boki trójkąta którego tangens kąta ostrego równa się \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\) jest trójkątem pitagorejskim o przekątnej miary \(\displaystyle{ 5 }\) i jest podobny do trójkąta o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ \frac{6}{5}}\) w skali \(\displaystyle{ \frac{5}{ \frac{6}{5} } = \frac{25}{6} }\)

Stąd prostym rachunkiem proporcji odcięta zadanego punktu jest równa\(\displaystyle{ x_X = - 3 \cdot \frac{6}{25} = - \frac {18}{25}}\), a rzędna \(\displaystyle{ y_X= 4 \cdot \frac{6}{25} = \frac{24}{25} }\)
Równanie prostej "leżącej na dwu znanych punktach"
\(\displaystyle{ y- y_X = \frac{x_A -x_X }{y_A-y_X} (x-x_X)}\)

\(\displaystyle{ y- \frac{24}{25} = \frac{3- \frac{24}{25} }{4- \frac{18}{25} } (x- \frac{18}{25} )}\)
jest tu najpewniej najłatwiejszym do rozwiązania.

Punkt styczności drugiej prostej można znaleźć podobną analizą .

[Niepokonana]

Widzę, że dyskusja się nadal toczy, chociaż nie wiem, co to jest tan. Tangens? Proszę bez kątów, nie ten poziom wtajemniczenia.