Jak znaleźć parametryzację

[ivni]

Znajdź parametryzację krzywej spełniającej równanie \(\displaystyle{ \sin x + \sin y=1}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x,y \le 2\pi}\).

Proszę o wskazówki w znalezieniu parametryzacji, przy czym chciałbym, żeby to była parametryzacja "w jednym kawałku", w sensie, że można zawsze na siłę wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\), ale wtedy mamy \(\displaystyle{ y=\arcsin(1-\sin x) \vee y=\pi-\arcsin(1-\sin x)}\) i przyjąć \(\displaystyle{ t=x}\). Da się znaleźć parametryzację, która nie ma tego "lub"?

[janusz47]

\(\displaystyle{ x = t, \ \ \sin(y) = 1 -\sin(t)}\)

\(\displaystyle{ \cos^2(y) = 1 - \sin^2(y) = 1 -(1- \sin(t))^2 = 2\sin t - \sin^2 (t)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = t, \ \ y = \sqrt{2\sin(t) -\sin^2(t)} \ \ \mbox{ dla} \ \ 0\leq t \leq \arcsin(2) \\
x = t, \ \ y = \sqrt{\sin^2 (t) -2\sin(t)} \ \ \mbox{dla} \ \ \arcsin(2) \leq t \leq 2\pi. \end{cases}}\)