Styczność elipsy i 2 różnych kół - układ równań

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
saLv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lip 2019, o 12:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: KRK

Styczność elipsy i 2 różnych kół - układ równań

Post autor: saLv »

Witam raz jeszcze, mam nadzieję, że teraz już będzie zgodnie z regulaminem - tex uwzględniony;)

Chciałem prosić jakąś dobrą duszę o sprawdzenie toku i poprawności moich obliczeń.
Mam 2 koła (rozłączne; nie przecinają się) oraz elipsę, która jest przybliżona przy użyciu zbioru kół.
Chodzi o znalezienie punktu do którego należy przesunąć środek wybranego koła elipsy tak, aby była styczna do obu zadanych kół.
Mając przesunięcie 1 środka będę mógł przesunąć wszystkie koła składowe elipsy.
Moje rozwiązanie poniżej.

Z góry dziękuję za wszelkie uwagi.
Pozdrawiam,
Paweł

\(\displaystyle{ (x_0+x_1)^{2}+ (y_0+y_1)^{2}=(R_0+R_1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x_2+x_3)^{2}+ (y_2+y_3)^{2}=(R_2+R_3)^{2}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x,y,R}\) - współrzędne kół o środku \(\displaystyle{ (x,y)}\) i promieniu \(\displaystyle{ R}\)
oraz \(\displaystyle{ x_2=x_0+ A, y_2=y_0+B}\)
koła \(\displaystyle{ x_0, y_0,R_0}\) oraz \(\displaystyle{ x_2, y_2,R_2}\) należą do tej samej elipsy
Elipsa jest przybliżona przy pomocy zbioru kół.
Szukane są współrzędne punktu \(\displaystyle{ x_0, y_0}\).
Pozostałe elementy układu równań są znane.
Chodzi o znalezienie nowych współrzędnych koła \(\displaystyle{ x_0, y_0}\) takich,
aby po przesunięciu elipsy była ona styczna do kół \(\displaystyle{ x_1, y_1, R_1}\) oraz \(\displaystyle{ x_3, y_3, R_3}\).

\(\displaystyle{ x_0^{2}-2x_0 x_1+x_1^{2}+ y_0^{2}-2y_0 y_1+ y_1^{2}=(R_0+R_1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ x_2^{2}-2x_2 x_3+x_3^{2}+ y_2^{2}-2y_2 y_3+ y_3^{2}=(R_2+R_3)^{2}}\)
podstawiam:
\(\displaystyle{ C=(R_0+R_1)^{2}; D=(R_2+R_3)^{2}}\)

\(\displaystyle{ x_0^{2}-2x_0 x_1+x_1^{2}+ y_0^{2}-2y_0 y_1+ y_1^{2}=C}\)
\(\displaystyle{ (x_0+ A)^{2}-2(x_0+A)x_3+x_3^{2}+ (y_0+ B)^{2}-2(y_0+B)y_3+y_3^{2}=D}\)
rozpiszę drugie równanie:
\(\displaystyle{ x_0^{2}+x_0(2A-2x_3) - 2Ax_3+x_3^{2}+A^{2}+y_0^{2}+y_0(2B-2y_3) - 2By_3+y_3^{2}+B^{2}= D}\)
tu robię podstawienie:
\(\displaystyle{ E=2A-2x_3; F=2B-2y_3;}\)
\(\displaystyle{ G=A^{2}+B^{2}-2Ax_3-2By_3+x_3^{2}+y_3^{2}}\)
i otrzymuję; \(\displaystyle{ x_0^{2}+x_0E+y_0^{2}+y_0F+G=D}\)
stąd układ wygląda:
\(\displaystyle{ x_0^{2}-2x_0x_1+x_1^{2}+y_0^{2}-2y_0y_1+ y_1^{2}=C}\)
\(\displaystyle{ x_0^{2}+x_0E+y_0^{2}+y_0F+G=D}\)
po odjęciu:
\(\displaystyle{ x_0(-2x_1-E)+y_0(-2y_1-F)+x_1^{2}+y_1^{2}-G=C-D}\)
kolejne podstawienie:
\(\displaystyle{ H=-2x_1-E}\); \(\displaystyle{ I=-2y_1-F}\); \(\displaystyle{ J=C+G-D-x_1^{2}-y_1^{2}}\)
co daje:
\(\displaystyle{ x_0H+y_0I=J}\)
obliczam \(\displaystyle{ x_0}\):
\(\displaystyle{ x_0=\frac{J}{H}-\frac{I}{H}y_0}\)
podstawiam:
\(\displaystyle{ K=JH}\) ; \(\displaystyle{ L=IH}\)
i otrzymuję:
\(\displaystyle{ x_0=K-Iy_0}\)
Podstawiam do 1 równania i otrzymuję:
\(\displaystyle{ y_0^{2}(I^{2}+1) + y_0(-2KI+2Ix_1-2y_1)+(K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1{2}-C)=0}\)
robię kolejne podstawienie:
\(\displaystyle{ M=I^{2}+1}\);
\(\displaystyle{ N=2Ix_1-2KI-2y_1}\);
\(\displaystyle{ P=K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1^{2}-C}\);
co daje:
\(\displaystyle{ y_0^{2}M+y_0N+P=0}\)
i dalej już delta itd...
Ostatnio zmieniony 9 lip 2019, o 16:01 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Styczność elipsy i 2 różnych kół - układ równań

Post autor: Dilectus »

oraz elipsę, która jest przybliżona przy użyciu zbioru kół
znalezienie punktu do którego należy przesunąć środek wybranego koła elipsy
Co chciałeś przez to powiedzieć?
saLv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lip 2019, o 12:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: KRK

Styczność elipsy i 2 różnych kół - układ równań

Post autor: saLv »

Chodzi o coś takiego jak na załączonym rysunku.



Potrzebuję znaleźć środek jednego z kół elipsy już po przesunięciu (elipsa ma być styczna do 2 kół - niebieskie). Mając przesunięcie jednego z kół będę mógł przesunąć wszystkie, a tym samym całą elipsę. Współrzędne środków kół elipsy oraz ich promienie są znane, a co za tym idzie zależność między współrzędnymi x0,y0 oraz x2,y2 również jest znana.-- 14 lip 2019, o 13:58 --Poniżej poprawiony błąd, który znalazłem
saLv pisze: podstawiam:
\(\displaystyle{ K= \frac{J}{H}}\) ; \(\displaystyle{ L= \frac{I}{H}}\)
i otrzymuję:
\(\displaystyle{ x_0=K-Ly_0}\)
Podstawiam do 1 równania i otrzymuję:
\(\displaystyle{ y_0^{2}(L^{2}+1) + y_0(-2KL+2Lx_1-2y_1)+(K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1{2}-C)=0}\)
robię kolejne podstawienie:
\(\displaystyle{ M=L^{2}+1}\);
\(\displaystyle{ N=2Lx_1-2KL-2y_1}\);
\(\displaystyle{ P=K^{2}-2Kx_1+x_1^{2}+y_1^{2}-C}\);
co daje:
\(\displaystyle{ y_0^{2}M+y_0N+P=0}\)
Pozostaje pytanie, czy to jest ok, czy może coś jest jednak nie tak z obliczeniami, bądź tokiem rozumowania.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Styczność elipsy i 2 różnych kół - układ równań

Post autor: Dilectus »

Zapewne wziąłeś to zadane z jakiegoś zboru zadań, czy egzaminu. Przedstaw jego oryginalną treść, zamiast opowiadać ją własnymi słowami.
saLv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 9 lip 2019, o 12:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: KRK

Re: Styczność elipsy i 2 różnych kół - układ równań

Post autor: saLv »

Dilectus pisze:Zapewne wziąłeś to zadane z jakiegoś zboru zadań, czy egzaminu. Przedstaw jego oryginalną treść, zamiast opowiadać ją własnymi słowami.
Nie jest to zadanie ze zbioru zadań, czy też egzaminu.

Może niepotrzebnie pisałem o elipsie.
Problem sprowadza się do rozwiązania układu równań na styczność 2 kół (koła styczne zewnętrznie) -> 2 równania, 2 niewiadome: \(\displaystyle{ x_0, y_0}\) - współrzędne środka jednego ze stycznych kół,
\(\displaystyle{ (x_0-x_1)^{2}+ (y_0-y_1)^{2}=(R_0+R_1)^{2}}\)
\(\displaystyle{ (x_2-x_3)^{2}+ (y_2-y_3)^{2}=(R_2+R_3)^{2}}\)
Wszystkie pozostałe zmienne są znane, przy czym:
\(\displaystyle{ x_2=x_0+ A, y_2=y_0+B}\)
\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są również znane.
Ostatnio zmieniony 14 lip 2019, o 17:56 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Styczność elipsy i 2 różnych kół - układ równań

Post autor: Dilectus »

Wybacz, nie jestem w stanie zrozumieć Twojego problemu, więc nie pomogę Ci go rozwiązać...
ODPOWIEDZ