Długość rzutu prostopadłego na prostą

[Paula4321]

Hej mam problem z jednym zadaniem i nie wiem z której strony je ugryźć.

Polecenie: Znajdź długość rzutu prostopadłego \(\displaystyle{ \vec{a} = 1, \sqrt{2} , 3}\) na prostą
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x = t\\y = t\\z = t \end{array}\right.}\)

[kerajs]

d- długość rzutu;
k -wektor kierunkowy prostej, \(\displaystyle{ \vec{k}=\left[ 1,1,1\right]}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{\left| \vec{a} \right| } =\left| \cos \angle \left\{ \vec{a}, \vec{k} \right\} \right|}\)
\(\displaystyle{ d=\left| \vec{a} \right| \left| \frac{\vec{a}\circ \vec{k}}{\left| \vec{a} \right|\left| \vec{k} \right|} \right|= \frac{\left| \vec{a}\circ \vec{k}\right| }{\left| \vec{k} \right|}}\)

\(\displaystyle{ d= \frac{\left| 1 \cdot 1+ \sqrt{2} \cdot 1+3 \cdot 1\right| }{ \sqrt{3} } =...}\)

[Janusz Tracz]

Policzył bym iloczyn skalarny \(\displaystyle{ a}\) ze znormalizowanym wektorem kierunkowym tej prostej tj. \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{ \sqrt{3} },\frac{1}{ \sqrt{3} },\frac{1}{ \sqrt{3} } \right]}\) to da długość rzutu:

\(\displaystyle{ \left[ 1, \sqrt{2},3 \right]\circ \left[ \frac{1}{ \sqrt{3} },\frac{1}{ \sqrt{3} },\frac{1}{ \sqrt{3} } \right]=1+ \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }+ \sqrt{3}}\)