Rówanie płaszczyzny zawierającej proste

[kryl]

Czy dobrze rozwiązałem to zadanie?
Najbardziej chodzi mi o niewspółliniowe punkty płaszczyzny.

Napisz równanie płaszczyzny zawierającej proste
\(\displaystyle{ L: \begin{cases} x=1+t \\ y=2-3t \\ z=t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ P: \frac{x-2}{-2}= \frac{y+4}{6} = \frac{z}{-2}}\)

Wektory kierunkowe prostych są równoległe :\(\displaystyle{ \vec{u}=[1,-3,1],\vec{v}=[-2,6,-2]}\)
Wyznaczam punkty niewspółliniowe:
\(\displaystyle{ A(1,2,0), B(2,2,0), C(1,-4,0)}\)

Wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=[1,0,0]}\).
Wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}=[0,-6,0]}\).

Iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{BC}=[6,-1,-6],}\)

więc równanie płaszczyzny to dla punktu \(\displaystyle{ A}\) to:
\(\displaystyle{ 6(x-1)-(y-2)-6(z-0)}\)

\(\displaystyle{ 6x-y-6z-4=0}\)

[janusz47]

173961.htm

[kryl]

173961.htm

Widziałem to zadanie, ale wynik jest inny. Czy jedna płaszczyzna może być ograniczona różnymi wzorami, i czy dobrze wyznaczyłem punkty niewspółliniowe?

[janusz47]

Obie proste, jak stwierdziłeś są równoległe, bo ich wektory kierunkowe są równoległe i przechodzą odpowiednio przez punkty:

\(\displaystyle{ P_{1}(1, 2, 0), \ \ P_{2}(2, - 4, 0).}\)

Wystarczy więc wyznaczyć współrzędne wektora normalnego szukanej płaszczyzny:

\(\displaystyle{ \vec{n} = \vec{P_{1}P_{2}}\times [1, -3, 1 ] = [1, -6, 0]\times [1,-3, 1] =[-6, -1, 3]}\)

i uwzględnić współrzędne dowolnego punktu jednej z prostych.

Równanie szukanej płaszczyzny

\(\displaystyle{ -6(x -2) - 1(y+4) + 3(z -0) =0}\)

\(\displaystyle{ -6x -y +3z +8 = 0}\)

albo

\(\displaystyle{ 6x +y -3z -8 = 0.}\)

Współrzędne punktów \(\displaystyle{ P_{1}, P_{2}}\) muszą spełniać równanie szukanej płaszczyzny.