Przeniesienie i obrót układu współrzędnych

[KotDrewniany1997]

Początek układu współrzędnych przeniesiono do punktu \(\displaystyle{ O' (-1,2)}\), a następnie obrócono powstały układ współrzędnych o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) taki, że \(\displaystyle{ \tg\alpha = \frac{5}{12}}\). Wyznaczyć współrzędne punktu \(\displaystyle{ M}\) w starym układzie jeżeli jego współrzędne w nowym układzie wynoszą \(\displaystyle{ (2,-1)}\).

Obliczam \(\displaystyle{ \cos\alpha = \frac{12}{13}}\) i \(\displaystyle{ \sin\alpha = \frac{5}{13}}\).

Obliczam współrzędne punktu \(\displaystyle{ (2,-3)}\) przed obrotem.

Korzystam ze wzoru:

\(\displaystyle{ x_{0}' = x_{0}\cos\alpha - y_{0}\sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ y_{0}' = x_{0}\sin\alpha + y_{0}\cos\alpha}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases}
2 = \frac{12}{13}x - \frac{5}{13}y \\
-3 = \frac{5}{13}x + \frac{12}{13}y \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
2 = \frac{12}{13}x - \frac{5}{13}y \\
2 = - \frac{5}{13}x - \frac{12}{13}y - 1
\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \frac{12}{13}x - \frac{5}{13}y = - \frac{5}{13}x - \frac{12}{13}y - 1}\)

Obliczam \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ...

Następnie obliczam wektor przesunięcia początku układu współrzędnych za pomocą wzoru:

\(\displaystyle{ x'=x-a \\
y'=y-b}\)

Uzyskawczy wektor obliczam punkt \(\displaystyle{ (2,-1)}\)przed przesunięciem i obrotem układu. Czyli za \(\displaystyle{ x'}\) i \(\displaystyle{ y'}\) podstawiam poprzednio obliczone \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) wspólrzędne punktu przed obrotem. A za \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) obliczony wektor przesunięcia.

Z tego uzyskuje współrzędne punktu \(\displaystyle{ M}\) w starym układzie.

Czy taki sposób rozwiązania jest poprawny? Bardzo proszę o pomoc