Wyznacz punkt C na prostej i oblicz pole trójkąta

[KotDrewniany1997]

Dana jest prosta \(\displaystyle{ l:\, 2x+y+5=0}\) oraz dwa punkty: \(\displaystyle{ A \left( 1,-7 \right)}\), leżący na prostej \(\displaystyle{ l}\), i punkt \(\displaystyle{ B \left( 2,1 \right)}\). Wyznacz punkt \(\displaystyle{ C}\) na prostej \(\displaystyle{ l}\), tak aby trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) był prostokątny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ AC}\). Oblicz pole tego trójkąta.

\(\displaystyle{ 2x + y + 5 = 0 \\
y = -2x - 5}\)

\(\displaystyle{ \vec{v} = \vec{BA} = \left[ -1,-8 \right] \\
\vec{w} = \vec{BC} = \left[ x-2,-2x-6 \right]}\)

\(\displaystyle{ \left\langle v,w \right\rangle = - \left( x-2 \right) - 8 \left( -2x-6 \right) = 0 \\
\left\langle v,w \right\rangle = -x + 2 + 16x + 48 = 0 \\
\left\langle v,w \right\rangle = 15x + 50 = 0}\)

\(\displaystyle{ x = -\frac{50}{15} = -\frac{10}{3} \\
y = -2 \left( -\frac{10}{3} \right) -5 = \frac{20}{3} - \frac{15}{3} = \frac{5}{3}}\)

Punkt \(\displaystyle{ C= \left( -\frac{10}{3},\frac{5}{3} \right) .}\)

Czy punkt \(\displaystyle{ C}\) jest poprawnie obliczony?

[Dilectus]

Dałbyś jakiś komentarz do tych obliczeń, żeby czytelnik nie musiał się domyślać, po co te obliczenia robisz, i jaki jest Twój pomysł na rozwiązanie tego zadania.-- 4 cze 2019, o 09:42 --Mój pomysł jest taki:

1. Wyznaczam równanie prostej, przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

2. Prowadzę prostą \(\displaystyle{ k}\) prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ AB}\), przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ B}\)

3. Znajduję punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\). Będzie to szukany wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

A dalej jest łatwo, bo pole tego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych.
Jak widać, nie liczyłem niczego, tylko przedstawiłem pomysł rozwiązania problemu. Ty postąpiłeś odwrotnie: naliczyłeś się sporo, nie przedstawiając pomysłu rozwiązania.

[KotDrewniany1997]

-- 4 cze 2019, o 09:42 --

Mój pomysł jest taki:

1. Wyznaczam równanie prostej, przechodzącej przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

2. Prowadzę prostą \(\displaystyle{ k}\) prostopadłą do prostej \(\displaystyle{ AB}\), przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ B}\)

3. Znajduję punkt przecięcia prostych \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ l}\). Będzie to szukany wierzchołek \(\displaystyle{ C}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

A dalej jest łatwo, bo pole tego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości przyprostokątnych.
Jak widać, nie liczyłem niczego, tylko przedstawiłem pomysł rozwiązania problemu. Ty postąpiłeś odwrotnie: naliczyłeś się sporo, nie przedstawiając pomysłu rozwiązania.

Dziękuję za odpowiedź!

1.

\(\displaystyle{ \begin{cases} -7 = a+b \\ 1 = 2a + b \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -b = a+7 \\ -b = 2a - 1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ a+7 = 2a - 1}\)

\(\displaystyle{ -a = -8}\)

\(\displaystyle{ a = 8}\)

\(\displaystyle{ -7 = 8 + b}\)

\(\displaystyle{ b = -15}\)

Równanie prostej: \(\displaystyle{ y = 8x - 15}\)

2.

\(\displaystyle{ a = - \frac{1}{8}}\)

\(\displaystyle{ y = - \frac{1}{8}x + b}\)

\(\displaystyle{ 1 = - \frac{1}{8} \cdot 2 + b}\)

\(\displaystyle{ 1 = - \frac{1}{4} + b}\)

\(\displaystyle{ b = \frac{5}{4}}\)

Równanie prostej: \(\displaystyle{ y = - \frac{1}{8}x + \frac{5}{4}}\)

3.

\(\displaystyle{ \begin{cases} y = -2x - 5 \\ y = - \frac{1}{8}x + \frac{5}{4} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ -2x - 5 = - \frac{1}{8} + \frac{5}{4}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{16}{8} + \frac{1}{8}x = \frac{20}{4} + \frac{5}{4}}\)

\(\displaystyle{ -\frac{15}{8}x = \frac{50}{8}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{50}{8} \cdot \left( - \frac{8}{15} \right) = - \frac{10}{3}}\)

\(\displaystyle{ y = -\frac{1}{8} \cdot \left( -\frac{10}{3} \right) + \frac{5}{4}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{10}{24} \cdot \frac{30}{24} = \frac{5}{3}}\)

Punkt \(\displaystyle{ C = \left( -\frac{10}{3},\frac{5}{3} \right)}\)

Z tego wynika, że punkt C obliczyłam poprawnie.

Co do pola tego trójkąta.

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \left| BA\right| \cdot \left| BC\right| \cdot \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ \left| BA \right| = \sqrt{ \left( 2-1 \right) ^{2}+ \left( 1- \left( -7 \right) \right) ^{2}} = \sqrt{1+8^{2}} = \sqrt{9} = 3}\)

\(\displaystyle{ \left| BC \right| = \sqrt{ \left( 2- \left( -\frac{10}{3} \right) \right) ^{2} + \left( 1-\frac{5}{3} \right) ^{2}} = \sqrt{ \left( \frac{16}{3} \right) ^{2} + \left( -\frac{2}{3} \right) ^{2}} =\sqrt{\frac{256}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{260}{9}}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{\frac{260}{9}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{260}}\)

I pole obliczone za pomocą wyznacznika Grama.

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix}
\left\langle v,v \right\rangle & \left\langle v,w \right\rangle \\
\left\langle w,v \right\rangle & \left\langle w,w \right\rangle \\
\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \left\langle v,w \right\rangle = \left\langle w,v \right\rangle = 0}\)

\(\displaystyle{ \left\langle v,v \right\rangle = \left( -1 \right) ^{2} + \left( -8 \right) ^{2} = 1 + 64 = 65}\)

\(\displaystyle{ \vec{w} = \left[ x - 2, -2x - 6 \right]}\)

\(\displaystyle{ \vec{w} = \left[ -\frac{10}{3} - 2, -2 \cdot \left( -\frac{10}{3} \right) - 6 \right] =
\left[ -\frac{10}{3} - \frac{6}{3}, \frac{20}{3} - \frac{18}{3} \right] =
\left[ -\frac{16}{3}, \frac{2}{3} \right]}\)

\(\displaystyle{ \left\langle w,w \right\rangle = \left( -\frac{16}{3} \right) ^{2} + \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} = \frac{256}{9} + \frac{4}{9} = \frac{260}{9}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix}
65 & 0 \\
0 & \frac{260}{9} \\
\end{bmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \left( 65 \cdot \frac{260}{9} - 0 \right) =}\)

No i tutaj już się nie zgadza.

Czy ktoś byłby w stanie powiedzieć jaki sposób obliczania pola w tym zadaniu jest najlepszy? Gdzie popełniłam błąd?

[piasek101]

Sposób na pole :
- otaczasz trójkąt prostokątem o pionowych i poziomych bokach
- od pola prostokąta odejmujesz pola (tu) trzech trójkątów prostokątnych.

Zaraz sprawdzę ile wychodzi.

[edit] Mam (też mogłem się pomylić) \(\displaystyle{ P=\frac{65}{3}}\), wynik prawdopodobny.
Z pierwiastkiem nie może wyjść, tak jak Ty masz - patrz podany ,,mój" sposób.