Rzut punktu na płaszczyznę

[Lucek_]

Poproszę o pomoc w zadaniu, niestety nawet nie wiem jak je ruszyć: wyznacz rzut punktu Q na płaszczyznę.
\(\displaystyle{ Q(4,5,6)

\pi :2x-y-z=9}\)

[a4karo]

Jaki rzut?

[Lucek_]

Chodzi o taki rzut, żeby odległość między tym punktem a jego rzutem była jak najmniejsza.

[karolex123]

Jeśli chcesz znaleźć rzut ortogonalny punktu \(\displaystyle{ Q}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\), to proponuję zrobić to następująco: wektor normalny płaszczyzny to \(\displaystyle{ (2,-1,-1)}\), zaś punkt na tej płaszczyźnie to np. \(\displaystyle{ P=(0,0,-9)}\) (wybrać sobie dowolny). Piszemy, że: \(\displaystyle{ Q=(4,5,6)=P+(4,5,15)}\). Teraz rzutujemy punkt \(\displaystyle{ (4,5,15)}\) na kierunek wektora normalnego płaszczyzny. Odejmując go od \(\displaystyle{ (4,5,15)}\) otrzymamy rzut prostopadły tego punktu na naszą płaszczyznę. Wystarczy teraz dodać ten rzut do wektora \(\displaystyle{ (0,0,-9)}\) i gotowe- dostaniemy rzut punktu \(\displaystyle{ Q}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\).

-- 25 maja 2019, o 15:09 --

Bo oczywiście punkt na płaszczyźnie leżący najbliżej punktu \(\displaystyle{ Q}\) to właśnie rzut prostopadły \(\displaystyle{ Q}\)

[a4karo]

Trochę to skomplikowane.
Prościej napisać równanie prostej równoległej do wektora normalnego płaszczyzny i przechodzącej przez \(\displaystyle{ Q}\) i zobaczyć gdzie przecina ona plaszczyzne.