Napisać równanie okręgu opisanego na trójkącie.

[Kokoriko]

Dany jest trójkąt o wierzchołkach: \(\displaystyle{ A=(2,2), B=(6,6), C=(-2,6)}\)
a) Napisać równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
b) Obliczyć pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)

Moje wyniki
a) \(\displaystyle{ (x-2)^2+(y-6)^2=4^2}\)

b)Długość odcinka \(\displaystyle{ BC}\)= \(\displaystyle{ \sqrt{(6+2)^2+(6-6)^2}=8}\)

Korzystam z \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

\(\displaystyle{ 6=6a+b \\
6=-2a+b}\)

\(\displaystyle{ 0=8a \\
a=0 \\
b=6}\)

\(\displaystyle{ d=\frac{|0 \cdot 2+6 \cdot 2+0|}{\sqrt{0^2+6^2}} \\
d=2, h=2 \\
\frac{1}{2}} \cdot 8 \cdot 2=8 \\
\mbox{Pole }= 8}\)

Na taki sposób zrobiłbym to zadanie, czy wszystko było zastosowane w odpowiedni sposób?

[karolex123]

Wszystko jest ok do tego momentu:

Korzystam z \(\displaystyle{ y=ax+b}\)

\(\displaystyle{ 6=6a+b}\)
\(\displaystyle{ 6=-2a+b}\)

\(\displaystyle{ 0=8a}\)
\(\displaystyle{ a=0}\)
\(\displaystyle{ b=6}\)

\(\displaystyle{ d=\frac{|0*2+6*2+0|}{\sqrt{0^2+6^2}}}\)
\(\displaystyle{ d=2, h=2}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}*8*2=8}\)
Pole= \(\displaystyle{ 8}\)

Na taki sposób zrobiłbym to zadanie, czy wszystko było zastosowane w odpowiedni sposób?

Nie wiem za bardzo co tu się stało. Mamy przecież \(\displaystyle{ |BC|=8}\) i też nietrudno zobaczyć, że wysokość opuszczona z \(\displaystyle{ A}\) na \(\displaystyle{ BC}\) ma długość \(\displaystyle{ 4}\). Zatem pole wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8}\)

[piasek101]

b) Skoro bok \(\displaystyle{ BC}\) jest poziomy (czyli wysokość pionowa) to możesz się powołać na szkic podając ich długości. Uniknąłbyś błędu.

[janusz47]

I sposób

Równanie szukanego okręgu zapisujemy w postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ (x -a)^2 +(y-b)^2 = r^2 \ \ (1)}\)

Współrzędne punktów \(\displaystyle{ A, B, C}\) muszą spełniać równanie okręgu \(\displaystyle{ (1)}\)

Skąd na \(\displaystyle{ a, \ b , \ r}\) otrzymujemy układ trzech równań:

\(\displaystyle{ (2-a)^2 + 2 -b)^2 = r^2\\ (6-a)^2 + (6-b)^2 = r^2 \\ (-2 -a)^2 + (6-a)^2 = r^2 \end{cases}}\)

Najłatwiej rozwiązujemy go, odejmując stronami na przykład pierwsze równanie od drugiego i równanie trzecie od drugiego.

II sposób

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w przecięciu się symetralnych jego boków? Obliczamy współrzędne środka okręgu, znajdując równania i punkt przecięcia się symetralnych dwóch jego boków. Długość promienia \(\displaystyle{ r}\) z odległości dwóch punktów.

Pole trójkąta obliczamy

- z wyznacznika

\(\displaystyle{ S_{\Delta} = \frac{1}{2} \left | \det [wsp.\vec{AB} \\ wsp.\vec{AC} ] \right |}\)

lub

-wzoru na pole trójkąta

\(\displaystyle{ S_{\Delta} = \frac{1}{2} |\overline{BC}|\cdot h.}\)

[Dilectus]

Kokoriko, zauważ, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny. Zapewne wiesz, jak do tego dojść - wystarczy sprawdzić, że zaruje się iloczyn skalarny wektorów

\(\displaystyle{ \vec AB \cdot \vec AC=0}\)

Jeśli tak, to przeciwprostokątna tego trójkąta jest średnicą okręgu opisanego na nim.

To spostrzeżenie sprawia, że rozwiązanie staje się banalne.