O punktach kratowych
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 24 lut 2019, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
O punktach kratowych
Czy prawdą jest, że jeżeli punkt kratowy \(\displaystyle{ B}\) powstaje przez przesunięcie punktu kratowego \(\displaystyle{ A}\) o \(\displaystyle{ a}\) kratek poziomo i \(\displaystyle{ b}\) kratek pionowo, to na odcinku \(\displaystyle{ AB}\), poza jego końcami, można wyróżnić \(\displaystyle{ nwd(a,b) - 1}\) punktów kratowych? Jeżeli tak, to jak to wykazać?
Ostatnio zmieniony 5 maja 2019, o 14:35 przez Ragwin, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: O punktach kratowych
Bez utraty ogólności ustalmy \(\displaystyle{ A = (c, 1)}\), \(\displaystyle{ c \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ (c,1)}\) jest punktem kratowym leżącym na danej prostej, to \(\displaystyle{ (2c,2), (3c,3), \dots, (nc,n), \dots}\) \(\displaystyle{ (n \neq 0)}\) też są punktami kratowymi leżącymi na tej prostej, faktycznie - każdy z tych punktów leży na prostej: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{c} x}\) i mają w oczywisty sposób całkowite (niezerowe) współrzędne.
A skoro współrzędna \(\displaystyle{ y}\) zwiększa się w ten sposób co \(\displaystyle{ 1}\), to są to wszystkie możliwe punkty kratowe leżące na tej prostej.
Wynika z tego, że przy punkcie kratowym \(\displaystyle{ (c,1)}\) kolejne punkty kratowe są co wektor \(\displaystyle{ \left[ c,1\right].}\)
Skoro \(\displaystyle{ b = n}\), to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ n-1}\) (bo koniec odcinka się nie liczy).
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a = nc}\), to \(\displaystyle{ b = n}\), więc \(\displaystyle{ NWD\left\{ a,b\right\} = n}\) - stąd teza.
Jeżeli \(\displaystyle{ (c,1)}\) jest punktem kratowym leżącym na danej prostej, to \(\displaystyle{ (2c,2), (3c,3), \dots, (nc,n), \dots}\) \(\displaystyle{ (n \neq 0)}\) też są punktami kratowymi leżącymi na tej prostej, faktycznie - każdy z tych punktów leży na prostej: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{c} x}\) i mają w oczywisty sposób całkowite (niezerowe) współrzędne.
A skoro współrzędna \(\displaystyle{ y}\) zwiększa się w ten sposób co \(\displaystyle{ 1}\), to są to wszystkie możliwe punkty kratowe leżące na tej prostej.
Wynika z tego, że przy punkcie kratowym \(\displaystyle{ (c,1)}\) kolejne punkty kratowe są co wektor \(\displaystyle{ \left[ c,1\right].}\)
Skoro \(\displaystyle{ b = n}\), to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ n-1}\) (bo koniec odcinka się nie liczy).
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a = nc}\), to \(\displaystyle{ b = n}\), więc \(\displaystyle{ NWD\left\{ a,b\right\} = n}\) - stąd teza.
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 24 lut 2019, o 19:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 5 razy
Re: O punktach kratowych
Dziękuję bardzo za pomoc. Zapomniałem dodać, że nie uwzględniamy końców odcinka, ale widzę, że to było dla Pana zrozumiałe.
Mam tylko jedno pytanie: w którym miejscu został wykluczony drugi koniec odcinka?
Mam tylko jedno pytanie: w którym miejscu został wykluczony drugi koniec odcinka?
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: O punktach kratowych
W zliczaniu punktów kratowych.
Zacznijmy z jakiegokolwiek punktu kratowego.
Może być \(\displaystyle{ (2,1)}\)?
Wiemy, że kolejny punkt kratowy jest dwa w prawo \(\displaystyle{ 1}\) w górę, kolejny tak samo i tak dalej.
Teraz liczymy ile razy skaczemy w górę (nasze \(\displaystyle{ b}\))
Zaczynamy z (2,1) nasze \(\displaystyle{ b = 0}\), rozmawianie o puntach kratowych odcinka nie ma żadnego sensu bo odcinek nie istnieje. Dla \(\displaystyle{ b = 1}\) mamy odcinek, w którym końcami są dwa "sąsiadujące ze sobą" punkty kratowe tego odcinka, więc tych, które nasz interesują jest \(\displaystyle{ b-1 =0}\), jeżeli \(\displaystyle{ b = 2}\), to dojdzie nam jeszcze jeden punkt kratowy, tym razem on będzie końcem, więc zwolnił nam się jeden i on spełnia nasze warunki, zatem znowu: \(\displaystyle{ b - 1 = 1}\) i tak dalej.
Punktów kratowych będzie ogólnie \(\displaystyle{ 1+b}\), bo pierwszy jest w punkcie \(\displaystyle{ A}\), którego nawet nie zaczęliśmy liczyć Liczby te dodawane przez \(\displaystyle{ b}\), ale musimy odjąć jeden na poczet tego drugiego końca.
A skoro \(\displaystyle{ b = n}\)
to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ b-1 = n - 1}\)
Zacznijmy z jakiegokolwiek punktu kratowego.
Może być \(\displaystyle{ (2,1)}\)?
Wiemy, że kolejny punkt kratowy jest dwa w prawo \(\displaystyle{ 1}\) w górę, kolejny tak samo i tak dalej.
Teraz liczymy ile razy skaczemy w górę (nasze \(\displaystyle{ b}\))
Zaczynamy z (2,1) nasze \(\displaystyle{ b = 0}\), rozmawianie o puntach kratowych odcinka nie ma żadnego sensu bo odcinek nie istnieje. Dla \(\displaystyle{ b = 1}\) mamy odcinek, w którym końcami są dwa "sąsiadujące ze sobą" punkty kratowe tego odcinka, więc tych, które nasz interesują jest \(\displaystyle{ b-1 =0}\), jeżeli \(\displaystyle{ b = 2}\), to dojdzie nam jeszcze jeden punkt kratowy, tym razem on będzie końcem, więc zwolnił nam się jeden i on spełnia nasze warunki, zatem znowu: \(\displaystyle{ b - 1 = 1}\) i tak dalej.
Punktów kratowych będzie ogólnie \(\displaystyle{ 1+b}\), bo pierwszy jest w punkcie \(\displaystyle{ A}\), którego nawet nie zaczęliśmy liczyć Liczby te dodawane przez \(\displaystyle{ b}\), ale musimy odjąć jeden na poczet tego drugiego końca.
A skoro \(\displaystyle{ b = n}\)
to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ b-1 = n - 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: O punktach kratowych
To rozumowanie nie przejdzie np. gdy \(\displaystyle{ A=(2,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,1)}\).Chichot Hioba pisze:Bez utraty ogólności ustalmy \(\displaystyle{ A = (c, 1)}\), \(\displaystyle{ c \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ (c,1)}\) jest punktem kratowym leżącym na danej prostej, to \(\displaystyle{ (2c,2), (3c,3), \dots, (nc,n), \dots}\) \(\displaystyle{ (n \neq 0)}\) też są punktami kratowymi leżącymi na tej prostej, faktycznie - każdy z tych punktów leży na prostej: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{c} x}\) i mają w oczywisty sposób całkowite (niezerowe) współrzędne.
A skoro współrzędna \(\displaystyle{ y}\) zwiększa się w ten sposób co \(\displaystyle{ 1}\), to są to wszystkie możliwe punkty kratowe leżące na tej prostej.
Wynika z tego, że przy punkcie kratowym \(\displaystyle{ (c,1)}\) kolejne punkty kratowe są co wektor \(\displaystyle{ \left[ c,1\right].}\)
Skoro \(\displaystyle{ b = n}\), to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ n-1}\) (bo koniec odcinka się nie liczy).
Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a = nc}\), to \(\displaystyle{ b = n}\), więc \(\displaystyle{ NWD\left\{ a,b\right\} = n}\) - stąd teza.
Nie trafisz w punkt \(\displaystyle{ B}\) również w przypadku gdy \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: O punktach kratowych
Tak, prawda, rozumowanie nie przejdzie dla \(\displaystyle{ b = 0}\).a4karo pisze: To rozumowanie nie przejdzie np. gdy \(\displaystyle{ A=(2,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,1)}\).
Wszelkie tego typu kombinacje, zgodnie z moim rozumowaniem, nie trafiają w punkty kratowe. Nie mają prawa, bo moje rozumowanie "obskakuje" wszystkie możliwe.a4karo pisze: Nie trafisz w punkt \(\displaystyle{ B}\) również w przypadku gdy \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
Wyjątkiem jest \(\displaystyle{ b = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = 0}\), tutaj trzeba faktycznie dopisać jedno zdanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 22173
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3748 razy
Re: O punktach kratowych
To dość wygodne założenie: nie pasuje mi, to nie istnieje .Chichot Hioba pisze:Tak, prawda, rozumowanie nie przejdzie dla \(\displaystyle{ b = 0}\).a4karo pisze: To rozumowanie nie przejdzie np. gdy \(\displaystyle{ A=(2,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,1)}\).
Wszelkie tego typu kombinacje, zgodnie z moim rozumowaniem, nie trafiają w punkty kratowe. Nie mają prawa, bo moje rozumowanie "obskakuje" wszystkie możliwe.a4karo pisze: Nie trafisz w punkt \(\displaystyle{ B}\) również w przypadku gdy \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
Wyjątkiem jest \(\displaystyle{ b = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = 0}\), tutaj trzeba faktycznie dopisać jedno zdanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 5 razy
Re: O punktach kratowych
Chciałem uzasadnić to na podstawię swojego postu, ale faktycznie trzeba się nagimnastykować, a przecież nie o to chodzi. Poprawiam:
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym punktem kratowym w \(\displaystyle{ \RR^2}\).
Wówczas punkt \(\displaystyle{ B}\), zgodnie z przyjętą wyżej konwencją powstaje przesunięcia o wektor \(\displaystyle{ [c,d]}\).
Wystarczy więc wykazać, że punkt przesunięty o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = [c,d]}\) (lub wektor \(\displaystyle{ - \vec{v}}\); nazwiemy to wektorem wyjściowym) , gdzie \(\displaystyle{ NWD\left\{ c,d \right\} = 1}\), jest sąsiednim do \(\displaystyle{ A}\) punktem kratowym, leżącym na prostej poprowadzonej przez te dwa punkty.
Gdyby tak nie było, to pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) istniałby co najmniej jeden punkt kratowy.
Weźmy ten punkt, gdy pomnożymy go przez skalar naturalny (bo inaczej nie będą to punkty kratowe), to uzyskamy nasz punkt (z współliniowości), zatem nasz punkt nie jest względnie pierwszy, co przeczy założeniu.
Kolejne punkty kratowe będą efektem mnożenie przez skalar \(\displaystyle{ n}\) i rozumowanie podobne jak w pierwszym poście: \(\displaystyle{ NWD\left\{ nc,nd\right\} = n}\), ostatni punkt się nie liczy więc jest ich \(\displaystyle{ n-1}\).
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym punktem kratowym w \(\displaystyle{ \RR^2}\).
Wówczas punkt \(\displaystyle{ B}\), zgodnie z przyjętą wyżej konwencją powstaje przesunięcia o wektor \(\displaystyle{ [c,d]}\).
Wystarczy więc wykazać, że punkt przesunięty o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = [c,d]}\) (lub wektor \(\displaystyle{ - \vec{v}}\); nazwiemy to wektorem wyjściowym) , gdzie \(\displaystyle{ NWD\left\{ c,d \right\} = 1}\), jest sąsiednim do \(\displaystyle{ A}\) punktem kratowym, leżącym na prostej poprowadzonej przez te dwa punkty.
Gdyby tak nie było, to pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) istniałby co najmniej jeden punkt kratowy.
Weźmy ten punkt, gdy pomnożymy go przez skalar naturalny (bo inaczej nie będą to punkty kratowe), to uzyskamy nasz punkt (z współliniowości), zatem nasz punkt nie jest względnie pierwszy, co przeczy założeniu.
Kolejne punkty kratowe będą efektem mnożenie przez skalar \(\displaystyle{ n}\) i rozumowanie podobne jak w pierwszym poście: \(\displaystyle{ NWD\left\{ nc,nd\right\} = n}\), ostatni punkt się nie liczy więc jest ich \(\displaystyle{ n-1}\).