O punktach kratowych

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Ragwin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lut 2019, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

O punktach kratowych

Post autor: Ragwin »

Czy prawdą jest, że jeżeli punkt kratowy \(\displaystyle{ B}\) powstaje przez przesunięcie punktu kratowego \(\displaystyle{ A}\) o \(\displaystyle{ a}\) kratek poziomo i \(\displaystyle{ b}\) kratek pionowo, to na odcinku \(\displaystyle{ AB}\), poza jego końcami, można wyróżnić \(\displaystyle{ nwd(a,b) - 1}\) punktów kratowych? Jeżeli tak, to jak to wykazać?
Ostatnio zmieniony 5 maja 2019, o 14:35 przez Ragwin, łącznie zmieniany 1 raz.
Chichot Hioba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 5 razy

Re: O punktach kratowych

Post autor: Chichot Hioba »

Bez utraty ogólności ustalmy \(\displaystyle{ A = (c, 1)}\), \(\displaystyle{ c \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ (c,1)}\) jest punktem kratowym leżącym na danej prostej, to \(\displaystyle{ (2c,2), (3c,3), \dots, (nc,n), \dots}\) \(\displaystyle{ (n \neq 0)}\) też są punktami kratowymi leżącymi na tej prostej, faktycznie - każdy z tych punktów leży na prostej: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{c} x}\) i mają w oczywisty sposób całkowite (niezerowe) współrzędne.
A skoro współrzędna \(\displaystyle{ y}\) zwiększa się w ten sposób co \(\displaystyle{ 1}\), to są to wszystkie możliwe punkty kratowe leżące na tej prostej.

Wynika z tego, że przy punkcie kratowym \(\displaystyle{ (c,1)}\) kolejne punkty kratowe są co wektor \(\displaystyle{ \left[ c,1\right].}\)

Skoro \(\displaystyle{ b = n}\), to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ n-1}\) (bo koniec odcinka się nie liczy).

Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a = nc}\), to \(\displaystyle{ b = n}\), więc \(\displaystyle{ NWD\left\{ a,b\right\} = n}\) - stąd teza.
Ragwin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 24 lut 2019, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 5 razy

Re: O punktach kratowych

Post autor: Ragwin »

Dziękuję bardzo za pomoc. Zapomniałem dodać, że nie uwzględniamy końców odcinka, ale widzę, że to było dla Pana zrozumiałe.

Mam tylko jedno pytanie: w którym miejscu został wykluczony drugi koniec odcinka?
Chichot Hioba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 5 razy

Re: O punktach kratowych

Post autor: Chichot Hioba »

W zliczaniu punktów kratowych.

Zacznijmy z jakiegokolwiek punktu kratowego.
Może być \(\displaystyle{ (2,1)}\)?

Wiemy, że kolejny punkt kratowy jest dwa w prawo \(\displaystyle{ 1}\) w górę, kolejny tak samo i tak dalej.

Teraz liczymy ile razy skaczemy w górę (nasze \(\displaystyle{ b}\))

Zaczynamy z (2,1) nasze \(\displaystyle{ b = 0}\), rozmawianie o puntach kratowych odcinka nie ma żadnego sensu bo odcinek nie istnieje. Dla \(\displaystyle{ b = 1}\) mamy odcinek, w którym końcami są dwa "sąsiadujące ze sobą" punkty kratowe tego odcinka, więc tych, które nasz interesują jest \(\displaystyle{ b-1 =0}\), jeżeli \(\displaystyle{ b = 2}\), to dojdzie nam jeszcze jeden punkt kratowy, tym razem on będzie końcem, więc zwolnił nam się jeden i on spełnia nasze warunki, zatem znowu: \(\displaystyle{ b - 1 = 1}\) i tak dalej.
Punktów kratowych będzie ogólnie \(\displaystyle{ 1+b}\), bo pierwszy jest w punkcie \(\displaystyle{ A}\), którego nawet nie zaczęliśmy liczyć Liczby te dodawane przez \(\displaystyle{ b}\), ale musimy odjąć jeden na poczet tego drugiego końca.

A skoro \(\displaystyle{ b = n}\)
to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ b-1 = n - 1}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: O punktach kratowych

Post autor: a4karo »

Chichot Hioba pisze:Bez utraty ogólności ustalmy \(\displaystyle{ A = (c, 1)}\), \(\displaystyle{ c \in \ZZ \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ (c,1)}\) jest punktem kratowym leżącym na danej prostej, to \(\displaystyle{ (2c,2), (3c,3), \dots, (nc,n), \dots}\) \(\displaystyle{ (n \neq 0)}\) też są punktami kratowymi leżącymi na tej prostej, faktycznie - każdy z tych punktów leży na prostej: \(\displaystyle{ y = \frac{1}{c} x}\) i mają w oczywisty sposób całkowite (niezerowe) współrzędne.
A skoro współrzędna \(\displaystyle{ y}\) zwiększa się w ten sposób co \(\displaystyle{ 1}\), to są to wszystkie możliwe punkty kratowe leżące na tej prostej.

Wynika z tego, że przy punkcie kratowym \(\displaystyle{ (c,1)}\) kolejne punkty kratowe są co wektor \(\displaystyle{ \left[ c,1\right].}\)

Skoro \(\displaystyle{ b = n}\), to punktów kratowych jest \(\displaystyle{ n-1}\) (bo koniec odcinka się nie liczy).

Zauważmy, że jeżeli \(\displaystyle{ a = nc}\), to \(\displaystyle{ b = n}\), więc \(\displaystyle{ NWD\left\{ a,b\right\} = n}\) - stąd teza.
To rozumowanie nie przejdzie np. gdy \(\displaystyle{ A=(2,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,1)}\).
Nie trafisz w punkt \(\displaystyle{ B}\) również w przypadku gdy \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
Chichot Hioba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 5 razy

Re: O punktach kratowych

Post autor: Chichot Hioba »

a4karo pisze: To rozumowanie nie przejdzie np. gdy \(\displaystyle{ A=(2,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,1)}\).
Tak, prawda, rozumowanie nie przejdzie dla \(\displaystyle{ b = 0}\).
a4karo pisze: Nie trafisz w punkt \(\displaystyle{ B}\) również w przypadku gdy \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
Wszelkie tego typu kombinacje, zgodnie z moim rozumowaniem, nie trafiają w punkty kratowe. Nie mają prawa, bo moje rozumowanie "obskakuje" wszystkie możliwe.

Wyjątkiem jest \(\displaystyle{ b = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = 0}\), tutaj trzeba faktycznie dopisać jedno zdanie.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: O punktach kratowych

Post autor: a4karo »

Chichot Hioba pisze:
a4karo pisze: To rozumowanie nie przejdzie np. gdy \(\displaystyle{ A=(2,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,1)}\).
Tak, prawda, rozumowanie nie przejdzie dla \(\displaystyle{ b = 0}\).
a4karo pisze: Nie trafisz w punkt \(\displaystyle{ B}\) również w przypadku gdy \(\displaystyle{ A=(1,1)}\) i \(\displaystyle{ B=(3,2)}\)
Wszelkie tego typu kombinacje, zgodnie z moim rozumowaniem, nie trafiają w punkty kratowe. Nie mają prawa, bo moje rozumowanie "obskakuje" wszystkie możliwe.

Wyjątkiem jest \(\displaystyle{ b = 0}\) lub \(\displaystyle{ a = 0}\), tutaj trzeba faktycznie dopisać jedno zdanie.
To dość wygodne założenie: nie pasuje mi, to nie istnieje .
Chichot Hioba
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 4 maja 2019, o 20:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 5 razy

Re: O punktach kratowych

Post autor: Chichot Hioba »

Chciałem uzasadnić to na podstawię swojego postu, ale faktycznie trzeba się nagimnastykować, a przecież nie o to chodzi. Poprawiam:

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym punktem kratowym w \(\displaystyle{ \RR^2}\).
Wówczas punkt \(\displaystyle{ B}\), zgodnie z przyjętą wyżej konwencją powstaje przesunięcia o wektor \(\displaystyle{ [c,d]}\).
Wystarczy więc wykazać, że punkt przesunięty o wektor \(\displaystyle{ \vec{v} = [c,d]}\) (lub wektor \(\displaystyle{ - \vec{v}}\); nazwiemy to wektorem wyjściowym) , gdzie \(\displaystyle{ NWD\left\{ c,d \right\} = 1}\), jest sąsiednim do \(\displaystyle{ A}\) punktem kratowym, leżącym na prostej poprowadzonej przez te dwa punkty.
Gdyby tak nie było, to pomiędzy \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) istniałby co najmniej jeden punkt kratowy.
Weźmy ten punkt, gdy pomnożymy go przez skalar naturalny (bo inaczej nie będą to punkty kratowe), to uzyskamy nasz punkt (z współliniowości), zatem nasz punkt nie jest względnie pierwszy, co przeczy założeniu.

Kolejne punkty kratowe będą efektem mnożenie przez skalar \(\displaystyle{ n}\) i rozumowanie podobne jak w pierwszym poście: \(\displaystyle{ NWD\left\{ nc,nd\right\} = n}\), ostatni punkt się nie liczy więc jest ich \(\displaystyle{ n-1}\).
ODPOWIEDZ