Matematyka.pl

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l1 : \(\displaystyle{ \frac{x}{1} = y -1 = \frac{z+2}{3}}\) oraz jest równoległa do prostej l2: \(\displaystyle{ x=y=\frac{z}{3}}\).
Prosze o pomoc, wydaję mi się, że muszę skorzystać z postaci parametrycznej tej pierwszej prostej, a prosta i płaszczyzna będą równoległe jeżeli iloczyn skalarny wektora normalnego płaszczyzny i wektora kierunkowego prostej będzie równy 0. Ale co dalej?

Zauważmy, że proste \(\displaystyle{ l_{1}, l_{2}}\) są równoległe, bo mają ten sam wektor kierunkowy \(\displaystyle{ [1, 1, 3].}\)

Aby napisać równanie płaszczyzny wyznaczonej przez te proste, obieramy na przykład na prostej \(\displaystyle{ l_{1}}\) punkt \(\displaystyle{ P_{1}( 0, 1, -2),}\) a następnie przez ten punkt i prostą \(\displaystyle{ l_{2}}\) prowadzimy płaszczyznę.

Metoda I

Szukana płaszczyzna przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P_{1}(0,1,-2)}\) więc jej równanie ma postać

\(\displaystyle{ (1) \ \ A(x -0) + B(y-1) + C(z+2) = 0, \ \ A^2 +B^2 +C^2 >0.}\)

Ponieważ szukana płaszczyzna przechodzi przez przez prostą \(\displaystyle{ l_{2}}\) to punkt \(\displaystyle{ P_{2}(0, 0, 0 )}\) tej prostej musi leżeć na płaszczyźnie \(\displaystyle{ (1)}\) i musi ona być równoległa do prostej \(\displaystyle{ l_{2}}\)

\(\displaystyle{ (2) \ \ A(0 - 0) + B(0-1) +C( 0+2) = 0}\)

\(\displaystyle{ (3) \ \ A\cdot 1 +B\cdot 1 + C\cdot 3 =0.}\)

Traktujemy układ równań \(\displaystyle{ (1)-(3)}\) jako układ jednorodny trzech równań liniowych o niewiadomych \(\displaystyle{ A, B, C.}\)

Układ ten posiada rozwiązania niezerowe. W takim razie wyznacznik charakterystyczny tego układu musi być równy zeru.

\(\displaystyle{ (4) \ \ \left| \begin{matrix} x -0 & y-1& z+2 \\ 0 & -1 & 2\\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} \right |= 0.}\)

Po rozwinięciu tego wyznacznika na przykład według drugiego wiersza i uproszczeniach, otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny

\(\displaystyle{ 5x -2y - z = 0.}\)

Metoda II

Sprowadzamy najpierw prostą \(\displaystyle{ l_{2}}\) do postaci krawędziowej

\(\displaystyle{ l_{2}: \begin{cases} x - y = 0 \\ 3y - z = 0 \end{cases}}\)

Piszemy równanie pęku prostych przesuniętych przez prostą \(\displaystyle{ l_{2}}\)

\(\displaystyle{ (5) \ \ x - y + k( 3y - z ) = 0}\)

Ponieważ płaszczyzna \(\displaystyle{ (5)}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ P_{1}(0, 1,-2),}\) to współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie \(\displaystyle{ (5).}\)

Otrzymujemy w ten sposób równanie na wartość parametru \(\displaystyle{ k}\)

\(\displaystyle{ 0 - 1 +k( 3\cdot 1 +2 ) = 0}\)

\(\displaystyle{ -1 +5k = 0, \ \ k = \frac{1}{5}.}\)

Podstawiając \(\displaystyle{ k = \frac{1}{5}}\) do równania \(\displaystyle{ (5),}\) otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny

\(\displaystyle{ x - y +\frac{1}{5}(3y - z) = 0}\)

\(\displaystyle{ 5x -5y +3y -z = 0}\)

\(\displaystyle{ 5x - 2y - z = 0.}\)

Albo tak: wektory \(\displaystyle{ [1,1,3]}\) oraz \(\displaystyle{ [0,1,-2}\) leżą w tej płaszczyżnie. Ich iloczyn wektorowy...

Metoda III, którą podał Pan a4karo jest najkrótsza pod względem rachunkowym.

Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny

\(\displaystyle{ [1,1,3] \times [0,1,-2] = [-5, 2, 1]}\)

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P_{1}(0,1,-2)}\)

\(\displaystyle{ -5(x -0) +2(x - 1) + 1\cdot (z -1) =0}\)

\(\displaystyle{ 5x -2y - z =0.}\)

Super! Dziękuję bardzo za pomoc.