Wyznaczyć współrzędne punktu

[U238]

Wyznacz współrzędne punktu \(\displaystyle{ P}\) leżącego na prostej \(\displaystyle{ l: y=-3x}\), którego odległość od punktów okręgu \(\displaystyle{ (x-4)^{2}+ y^{2}=4}\) jest najmniejsza. Zrobiłem tak:
1) sprawdziłem, czy prosta ma punkt wspólny z okręgiem(nie ma)
2) wywnioskowałem, że najmniejsza odległość jest od punktu na prostej prostopadłej do tej w zadaniu i przechodzącej przez środek okręgu
3) wyznaczyłem równanie prostej prostopadłej \(\displaystyle{ y_{1}=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\)
4)podstawiłem \(\displaystyle{ y_{1}}\) do równania okręgu i wyszły mi dwa punkty przecięcia się.

Potem policzę odległość tego punktu od prostej z zadania i potem wyliczę współrzędne punktu P. Dobrze to robię?
Tutaj rysunek do zadania w kalkulatorze graficznym. Czerwona prosta to ta podana w zadaniu, jest okrąg i ta prostopadła.

[szw1710]

Zadanie jest sformułowane nieprecyzyjnie. Chodzi o to sformułowanie.

odległość od punktów okręgu

Nie da się zminimalizować odległości od wszystkich punktów okręgu naraz. ZObacz na punkt \(\displaystyle{ (4,2)}\). Jego odległość od punktu \(\displaystyle{ P}\) jest dłuższa niż odległość od czerwonej prostej (liczona po prostopadłej).

[Dilectus]

Coś pokopałeś. Twoja prosta przechodząca przez środek okręgu i prostopadła do prostej \(\displaystyle{ y=-3x}\) ma rzeczywiście równanie \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} x- \frac{4}{3}}\). Musisz znaleźć jej punkt przecięcia z prostą \(\displaystyle{ y=-3x}\). To będzie szukany punkt \(\displaystyle{ P}\). Gdybyś chciał znaleźć odległość punktu \(\displaystyle{ P}\) od okręgu, musiałbyś znaleźć punkty przecięcia prostej \(\displaystyle{ y= \frac{1}{3} x- \frac{4}{3}}\) z okręgiem \(\displaystyle{ (x-4)^{2}+ y^{2}=4}\) i wziąć ten, który jest bliżej punktu \(\displaystyle{ P}\) ale takiego polecenia nie ma w tym zadaniu. Musisz tylko uzasadnić, że tak znaleziony punkt \(\displaystyle{ P}\) jest tym punktem, o który chodzi.