Zmiana środka rotacji w układzie współrzędnych

[Zyko]

Dzień dobry,
walczę już któryś dzień z problemem wydawałoby się dość trywialnym - mianowicie:
Mam figurę \(\displaystyle{ P_{1}}\), której współrzędne są znane i została obrócona o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) względem środka rotacji \(\displaystyle{ C_{1}}\). Środek rotacji został przeniesiony do punktu \(\displaystyle{ C_{2}}\). W jaki sposób wyliczyć kąt (i prawdopodobnie wektor przesunięcia) o które należy przekształcić współrzędne figury tak aby figura (jej współrzędne) znajdowały się w tym samym miejscu co po rotacji względem wcześniejszego punktu środka obrotu.

[kruszewski]

Ukryta treść:    

Zauważmy, że współrzędne punktów \(\displaystyle{ C_o \ i \ C_1}\) , są nam znane, tak jak znane są współrzędne punktu \(\displaystyle{ A_o}\) , zatem i równania intersujących prostych, \(\displaystyle{ A_oC_o, \ i \ A_1 C_1, \ oraz \ A_o C_1 \ tak \ jak \ i \ A_1 C _1}\) i kątów między nimi.

Z rysunku widać, że "powrót" do poprzedniego położenia wymaga obrotu o kąt \(\displaystyle{ \angle A_1C_1A_o}\) możliwy i łatwy do obliczenia.

Wypada zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ \Delta A_oC_oA_1 \ i \ \Delta \ A_1C_1A_2}\), są równoramienne, choć różne. Ale miary ich ramion są łatwe do obliczenia. Wektor przesunicia o kierynku prostej A_oC_1 ma moduł równy mierze odcinka \(\displaystyle{ A_2A_o}\)

[Zyko]

Dokładnie to o co mi chodziło, dziękuję bardzo. Niestety czasem najprostsze rozwiązania nie potrafią przyjść do głowy jak się już gdzieś wejdzie głębiej w problem Analogicznie do tego przekształcenia próbuję również uzyskać trochę inny wynik, mianowicie: aby figura początkowa (ta z punktem \(\displaystyle{ A_0}\)) w wyniku przekształceń względem punktu \(\displaystyle{ C_1}\) miała dokładnie te same współrzędne co figura po przekształceniu względem \(\displaystyle{ C_0}\) (ta z punktem \(\displaystyle{ A_1}\)).
Niestety moje próby kończą się połowicznym sukcesem gdyż stosując podobne przekształcenia jak dla poprzedniego przykładu wyliczając nowy kąt oraz wektor udaje mi się uzyskać tylko współrzędne jednego punktu (dla tego przykładu udaje mi się przekształcić \(\displaystyle{ A_0}\) względem \(\displaystyle{ C_1}\) tak, że dostaje \(\displaystyle{ A_0}\) = \(\displaystyle{ A_1}\) a reszta wierzchołków nie pokrywa się).

[kruszewski]

Może tak?

Ukryta treść:    

Czarnym kolorem figura i środek obrotu w położeniu "zero".
Niebieskim kolorem rysunek figury w położeniu "1" po obrocie o zaznaczony kąt.
Czerwonym kolorem "nowy" środek obrotu i rysunek figury w położeniu pośrednim "2".
Literą W oznaczone wektory przesunięcia wierzchołków z położenia "2" do położenia "zero".

[Zyko]

Super, kombinując w ten sposób udało mi się to zapisać w krótkich operacjach:
Znane są: punkt \(\displaystyle{ C_1}\), \(\displaystyle{ C_2}\), wierzchołki figury \(\displaystyle{ F}\) oraz jej obrót względem punktu \(\displaystyle{ C_1}\) o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\). Potrzebne obliczenia to:

\(\displaystyle{ \vec{V_1}=C_2=C_1}\)
Następnie należy obrócić \(\displaystyle{ \vec{V_1}}\) o kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i otrzymujemy wektor \(\displaystyle{ \vec{V_2}}\)
Dzięki temu możemy obliczyć wektor o który należy translować wszystkie wierzchołki figury \(\displaystyle{ F}\), czyli: \(\displaystyle{ \vec{V_t}=\vec{V_1}-\vec{V_2}}\).

Jeszcze raz dziękuję za wszelką pomoc!