Sprawdź czy prosta jest zawarta w, Sprawdź czy punkty leżą

[damian5602]

Witam,
poszukuję pomocy przy rozwiązaniu tych zadań:
1.Sprawdź czy prosta \(\displaystyle{ \frac{x-2}{-1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{-1}}\) zawarta jest w: \(\displaystyle{ 2x-y+z=5}\)
2.Sprawdź czy punkty leżą na jednej prostej:
A(2,0,1)
B(3,2,-1)
C(4,2,7)
3.Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty i wektor
A(2,3,5)
B(3,-1,0)
W[-1,0,3]

Nie chcę gotowych rozwiązań tylko wyjaśnienie jak się za to zabrać.

Moje poczynania:
2.
\(\displaystyle{ \vec{AB}= \left[1,2,-2 \right]}\)
\(\displaystyle{ \vec{AC}= \left[2,2,6 \right]}\)
Czyli nie są?
3.
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}= \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}= \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{3-2}= \frac{y-3}{-1-3}= \frac{z-5}{0-5}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x-2}{1}= \frac{y-3}{-4}= \frac{z-5}{-5}}\)

[kerajs]

1) Wystarczy sprawdzić czy dowolne dwa punkty prostej należą do płaszczyzny.

2) Ok, te wektory nie są proporcjonalne, a punkty kolinearne.

3) Masz znaleźć równanie płaszczyzny, a nie prostej.
Wektor normalny to iloczyn wektorowy nierównoległych wektorów leżących w płaszczyźnie.

[damian5602]

3.Czyli z punktów A i B robię wektor i przemnażam je?

[kerajs]

Tak, wektorowo z wektorem W. Potem zaczep płaszczyznę w jednym z danych punktów A lub B.

[damian5602]

Tak, wektorowo z wektorem W. Potem zaczep płaszczyznę w jednym z danych punktów A lub B.

Mogłbyś mi wytłumaczyć o co chodzi z tym zaczepieniem?
Chodzi Ci o ten wzór:
\(\displaystyle{ \frac{x-x_{a}}{v_{x}}=\frac{y-y_{a}}{v_{y}} =\frac{z-z_{a}}{v_{z}}}\)

[kerajs]

Wzór który podajesz to równanie kanoniczne prostej (nazywane także proporcja podwójną), a w zadaniu masz znaleźć równanie płaszczyzny:

3.Znajdź równanie płaszczyzny przechodzącej przez dwa punkty i wektor
A(2,3,5)
B(3,-1,0)
W[-1,0,3]

Jej wektor normalny to:
\(\displaystyle{ \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{W} \\
\vec{n} =\left[ -12,2,-4\right]}\)
a równanie płaszczyzny ma postać:
\(\displaystyle{ -12x+2y+-4z+D=0}\)
Wartość D wyliczysz wstawiając współrzędne znanego punktu płaszczyzny do tego równania (i to jest zaczepieniem płaszczyzny w punkcie).