Matematyka.pl

[Pytanie]
Jeśli weźmiemy dwa zewnętrznie styczne okręgi \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) o różnych promieniach oraz ich wspólną styczną \(\displaystyle{ l}\). To istnieje dokładnie jeden czy dwa okręgi jednocześnie styczne do \(\displaystyle{ S_1, S_2, l}\)? Dlaczego nie istnieją inne okręgi o tej własności?

1) Jeżeli wspólna styczna zawiera punkt styczności okręgów to istnieje nieskończenie wiele okręgów spełniających warunki zadania.
2) Wspólna styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów
a) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są równe (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\)) to istnieje zawsze dokładnie jeden okrąg spełniający treść zadania. Ma on promień \(\displaystyle{ x= \frac{R}{4}}\)
b) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są różne (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), i \(\displaystyle{ R>r}\)) to istnieją zawsze dokładnie dwa okręgi spełniające treść zadania. Mają promienie \(\displaystyle{ x= \frac{Rr}{R+2 \sqrt{Rr}+r }}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{Rr}{R-2 \sqrt{Rr}+r }}\)

Jeśli narysujesz inne okręgi styczne do okręgów danych, których promienie będą inne niż podane powyżej, to przekonasz się że przecinają styczną lub są z nią rozłączne.

kerajs pisze:1) Jeżeli wspólna styczna zawiera punkt styczności okręgów to istnieje nieskończenie wiele okręgów spełniających warunki zadania.
2) Wspólna styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów
a) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są równe (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\)) to istnieje zawsze dokładnie jeden okrąg spełniający treść zadania. Ma on promień \(\displaystyle{ x= \frac{R}{4}}\)
b) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są różne (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), i \(\displaystyle{ R>r}\)) to istnieją zawsze dokładnie dwa okręgi spełniające treść zadania. Mają promienie \(\displaystyle{ x= \frac{Rr}{R+2 \sqrt{Rr}+r }}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{Rr}{R-2 \sqrt{Rr}+r }}\)

Jeśli narysujesz inne okręgi styczne do okręgów danych, których promienie będą inne niż podane powyżej, to przekonasz się że przecinają styczną lub są z nią rozłączne.

Ad b) - jeden okrąg jest wpisany w krzywoliniowy trójkąt utworzony przez kawałek prostej oraz łuki okręgów między punktami styczności. Ale nie widzę gdzie jest ten drugi.

Drugi okrąg będzie tak duży że w krzywoliniowy trójkąt utworzony przez kawałek prostej oraz jego łuk i łuk okręgu danego o większym promieniu, można wpisać okrąg dany o promieniu mniejszym.

Dlaczego nie nieskończenie wiele?

pesel pisze:Dlaczego nie nieskończenie wiele?

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/I9CgAIw

Bo to jest opisane w przypadku 1)

Fakt, trzeba czytać całe wątki. Thx.

Rozważam przypadek, gdy wspólna prosta styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów. Oznaczam promienie przez \(\displaystyle{ R_1}\) i \(\displaystyle{ R_2}\) i zakładam, że \(\displaystyle{ R_1>R_2}\). Środki oznaczam przez \(\displaystyle{ O_1,O_2}\). Prostą styczną oznaczam przez \(\displaystyle{ l}\). Zakładam również, że szukamy okręgu stycznego zewnętrznie do obu danych okręgów.

Jeśli punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem szukanego okręgu, to

\(\displaystyle{ OO_1-OO_2=R_1-R_2}\)

oraz

\(\displaystyle{ OO_1-d(O,l)=R_1}\)

, gdzie \(\displaystyle{ d(O,l)}\) oznacza odległość \(\displaystyle{ O}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\).

Pierwsze równanie to równanie hiperboli, drugie równanie to coś w rodzaju paraboli plus półprosta (przykładowy wykres w ). Jak popatrzymy na wykresy tej hiperboli i tej drugiej figury, to widać, że przecinają się w dokładnie dwóch punktach, stąd nie może być więcej niż dwa okręgi o szukanej własności.

Zadanie jest delikatnie mówiąc trudne. Pełny dowód wymagałby pokazania, że istotnie te dwie figury nie mogą mieć więcej niż dwa punkty wspólne.

Spotkałem się z takim uzasadnieniem tego zadania:
Środki okręgów stycznych od danego okręgu i danej prostej leżą na paraboli. Ponieważ dwie parabole mogą mieć co najwyżej dwa punkty wspólne, więc istnieją co najwyżej dwa okręgi spełniające warunki zadania.

Dwie parabole mogą mieć i cztery punkty wspólne

Bratower pisze:Spotkałem się z takim uzasadnieniem tego zadania:
Środki okręgów stycznych od danego okręgu i danej prostej leżą na paraboli. Ponieważ dwie parabole mogą mieć co najwyżej dwa punkty wspólne, więc istnieją co najwyżej dwa okręgi spełniające warunki zadania.

W tej wersji to uzasadnienie jest niepoprawne, ale można je "naprawić".

W moim poprzednim poście wskazałem, że jeśli \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem szukanego okręgu, to leży na hiperboli (a właściwie na jednej z gałęzi) oraz na pewnej krzywej (czymś w rodzaju paraboli). Zauważmy, że \(\displaystyle{ O}\) spełnia również zależność

\(\displaystyle{ OO_2-d(O,l)=R_2}\)

czyli leży na jeszcze jednej krzywej tego samego typu co ta "parabola" (te trzy krzywe przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\)). Zatem zamiast wykazywać, że hiperbola i "parabola" mają co najwyżej dwa punkty wspólne, można wykazać, że te dwie "parabole" mają co najwyżej dwa punkty wspólne. I tak w istocie jest.

Nasza "parabola" zależy od wyboru prostej i punktu nie leżącego na tej prostej (i jest jednoznacznie przez nie wyznaczona). W naszym przypadku obie "parabole" są wyznaczone przez tę samą prostą i to wystarcza, żeby stwierdzić, że mają co najwyżej dwa punkty wspólne. Jak tak na to teraz patrzę, to dowód analityczny tego faktu nie powinien być trudny.

Dla okręgu \(\displaystyle{ O}\) o promieniu \(\displaystyle{ R}\) stycznego do prostej \(\displaystyle{ l}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\), zbiór punktów środków okręgów stycznych do \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ l}\) i niezawierających punktu \(\displaystyle{ A}\) jest parabolą o kształcie paraboli \(\displaystyle{ y= \frac{1}{4R}x^2}\), o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i osi symetrii prostopadłej do \(\displaystyle{ l}\).

Dla okręgów z treści zadania (o promieniach \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\)) szukanym środkiem okręgu do nich stycznego będzie miejsce przecięcia parabol o wierzchołkach leżących na prostej (odległych o \(\displaystyle{ 2 \sqrt{Rr}}\) ) i równoległych osiach symetrii. Gdy \(\displaystyle{ r=R}\) parabole mają jednakowy kształt i przecinają się tylko w jednym miejscu. Gdy \(\displaystyle{ r \neq R}\) to parabola o bardziej stromym kształcie przecina tylko jedno z ramion drugiej (bardziej rozłożystej) paraboli, i stąd dokładnie dwa rozwiązania.