Zbiór środków cięciw okręgu

[witia1990]

Znajdź zbiór środków wszystkich cięciw okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2+4y+3=0}\), wyznaczonych przez proste przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ P=(0,1)}\).

Próbowałem to zadanie rozwiązać poprzez rozwiązanie układu równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=ax+1\\x^2+y^2+4y+3=0\end{cases}}\)

Niestety nie daje mi to dobrego rozwiązanie. Domyślam się, że trzeba jakoś inaczej podejść do niego. Pytanie tylko jak?

[kerajs]

To dobre podejście.
\(\displaystyle{ x^2+(ax+1)^2+4(ax+1)+3=0\\
(a^2+1)x^2+6ax+8=0}\)

Środki siecznych maja współrzędne \(\displaystyle{ \left( \frac{x_1+x_2}{2} ; \frac{y_1+y_2}{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{x_1+x_2}{2}= \frac{ \frac{-6a}{a^2+1}}{2} = \frac{-3a}{a^2+1} \\
\frac{y_1+y_2}{2}=\frac{ax_1+1+ax_2+1}{2}=\frac{-2a^2+1}{a^2+1}}\)
szukany zbiór zadany parametrycznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-3a}{a^2+1} \\ y=\frac{-2a^2+1}{a^2+1} \end{cases}}\)

Sprawdż czy powyższe punkty spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{9}{4}}\)
Jeśli tak, to szukanym zbiorem będzie łuk tego okręgu ograniczony do wnętrza okręgu z treści zadania.

[witia1990]

szukany zbiór zadany parametrycznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-3a}{a^2+1} \\ y=\frac{-2a^2+1}{a^2+1} \end{cases}}\)

Mi wyszło parametrycznie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-6a}{a^2+1} \\ y=\frac{-5a^2+1}{a^2+1} \end{cases}}\)

Sprawdż czy powyższe punkty spełniają równanie:
\(\displaystyle{ x^2+(y+ \frac{1}{2} )^2= \frac{9}{4}}\)
Jeśli tak, to szukanym zbiorem będzie łuk tego okręgu ograniczony do wnętrza okręgu z treści zadania.

Ale w jaki sposób miałbym wpaść, że to akurat takie równanie okręgu?

[janusz47]

Zapisz równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Zapisz równanie pęk prostych jako \(\displaystyle{ y = mx +1,}\)

Wstaw to równanie do równania okręgu.

Otrzymasz równanie kwadratowe.

Zażądaj aby jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta >0}\) (dwa punkty przecięcia prostej z okręgiem)

Wyznaczysz zakres parametru \(\displaystyle{ m.}\)

Oblicz średnie arytmetyczne współrzędnych punktów przecięcia.

[witia1990]

Zapisz równanie okręgu w postaci kanonicznej.

Zapisz równanie pęk prostych jako \(\displaystyle{ y = mx +1,}\)

Wstaw to równanie do równania okręgu.

Otrzymasz równanie kwadratowe.

Zażądaj aby jego wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta >0}\) (dwa punkty przecięcia prostej z okręgiem)

Wyznaczysz zakres parametru \(\displaystyle{ m.}\)

Oblicz średnie arytmetyczne współrzędnych punktów przecięcia.

To wszystko zrobiłem. Wciąż nie wiem jak z postaci parametrycznej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=\frac{-6a}{a^2+1} \\ y=\frac{-5a^2+1}{a^2+1} \end{cases}}\)

miałbym wpaść, że chodzi o równanie okręgu?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \frac{y_1+y_2}{2}=\frac{ax_1+1+ax_2+1}{2}=\frac{a(x_1+x_2)+2}{2}= \frac{ a \cdot \frac{-6a}{a^2+1} +2}{2} =\\=\frac{ \frac{-6a^2+2a^2+2}{a^2+1} }{2} =\frac{-2a^2+1}{a^2+1}}\)


Teraz odpowiedź na trudne pytanie:

Ale w jaki sposób miałbym wpaść, że to akurat takie równanie okręgu?

Fakt, z postaci parametrycznej trudno to wywnioskować. Ja pamiętałem ze szkoły średniej że środki cięciw leżą na okręgu więc znalazłem oczywiste jego punkty: środek okręgu z treści zadania \(\displaystyle{ (0,-2)}\) oraz jeden z punktów styczności tego okręgu z prostą przechodząca przez P czyli \(\displaystyle{ ( \frac{2 \sqrt{2} }{3}, \frac{-5}{3} )}\). Znając te punkty wyliczyłem równanie okręgu i sprawdziłem że obliczona postać parametryczna rzeczywiście je spełnia.

[a4karo]

Dla uproszczenia przesuńmy cały obrazek o 2 jednostki w górę. Wtedy okrąg stanie się okręgiem jednostkowym, a punkt \(\displaystyle{ P}\) będzie miał współrzędne \(\displaystyle{ P=(0,3)}\). Środek okręgu oznaczmy standardowo przez \(\displaystyle{ O}\)

Niech prosta wychodząca z punktu \(\displaystyle{ P}\) przecina okrąg w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\), a \(\displaystyle{ K}\) niech będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\).
Trójkąt \(\displaystyle{ APB}\) jest równoramienny, zatem jego wysokość \(\displaystyle{ OK}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ KP}\). Oznaczmy kąt \(\displaystyle{ OPK}\) przez \(\displaystyle{ \alpha}\).

Z trójkąta \(\displaystyle{ OKP}\) mamy

(*) \(\displaystyle{ |OK|=|PO|\sin\alpha=3\sin\alpha}\)
Współrzędne punktu \(\displaystyle{ K}\) oznaczymy przez \(\displaystyle{ (x_K,y_K)}\)
Zauważmy ponadto, że \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równy kątowi pomiędzy \(\displaystyle{ OK}\) i osią \(\displaystyle{ OX}\). Zatem
(**) \(\displaystyle{ y_K=|OK|\sin\alpha}\).
Mamy \(\displaystyle{ |OK|^2=x_K^2+y_K^2}\)
Mnożąc (*) przez |OK| dostajemy
\(\displaystyle{ x_K^2+y_K^2=|OK|^2=3|OK|\sin\alpha=3y_K}\), a to jest równanie okręgu.