Matematyka.pl

Na wykresie funkcji \(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50}\) znajdź współrzędne punktu A, którego odległość od prostej o równaniu \(\displaystyle{ y=-2x-22}\) jest najmniejsza.
__________________
Moje rozwiązanie i mam pytanie dlaczego to działa w analitycznej?
Podstawiam \(\displaystyle{ y=-2x-22}\) do pierwszej funkcji.
\(\displaystyle{ -2x-22=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50\\
\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+24x+72=0\\
f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+24x+72\\
f'(x)=0\Leftrightarrow x^3-3x^2-10x+24=0\\
(x-4)(x-2)(x+3)=0}\)
Min lok w \(\displaystyle{ x=-3}\), podstawiam \(\displaystyle{ x=-3}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}\cdot81+27-45-66+50=-\frac{55}{4}\\
\begin{cases}x=-3\\y=-\frac{55}{4}\end{cases}}\)
I to jest poprawna odpowiedź. Dlaczego to działa? Dlaczego nie działa jak wstawię \(\displaystyle{ x=-3}\) do \(\displaystyle{ y=-2x-22}\)? Czy zawsze ta metoda zadziała?

Może i ten wynik jest oczekiwany przez układającego zadanie, ale nie jest on rozwiązaniem zadania.
Takie rozwiązanie znajdzie punkty, gdzie odległość wykresów liczona w PIONIE jest najmniejsza. To nie ma nic wspólnego z treścią zadania, w którym chodzi o odległość punktu na krzywej od prostej - tę odległość mierzy się w kierunku prostopadłym do prostej.

Czyli jakbym na maturze tak rozwiązał zadanie to nie byłoby zaliczone na max pkt?

Takiego zadania nie byłoby na maturze, ale ja dałbym za takie rozwiązanie zero punktów, bo to jest rozwiązanie innego zadania.

JK

a4karo pisze:Może i ten wynik jest oczekiwany przez układającego zadanie, ale nie jest on rozwiązaniem zadania.
Takie rozwiązanie znajdzie punkty, gdzie odległość wykresów liczona w PIONIE jest najmniejsza. To nie ma nic wspólnego z treścią zadania, w którym chodzi o odległość punktu na krzywej od prostej - tę odległość mierzy się w kierunku prostopadłym do prostej.

Autokorekta: Trochę wspólnego ma, ale wymaga to pewnego uzasadnienia:

Po pierwsze, trzeba pokazać, że wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50}\) leży zawsze nad wykresem funkcji \(\displaystyle{ l(x)=-2x-22}\)

Niech \(\displaystyle{ L(x)=(x,l(x)),\ F(x)=(x,f(x))}\) a \(\displaystyle{ P(x)}\) będzie rzutem punktu \(\displaystyle{ F(x)}\) na prostą \(\displaystyle{ l}\). Wtedy \(\displaystyle{ d(P(x),F(x))=d(F(x),L(x))|\cos\alpha|}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem nachylenia prostej \(\displaystyle{ l}\) do osi \(\displaystyle{ OX}\).
Z tej równości wynika, że odległość punktu na wykresie funkcji \(\displaystyle{ f}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) jest proporcjonalna do odległości tych krzywej od prostej w pionie.