Cześć, potrzebuje pomocy przy zadaniu:
Wyznaczyć iloczyn mieszany \(\displaystyle{ \{t',t'',t'''\}}\) w terminach krzywizny i skręcenia.
Krzywizna, skręcenie
Krzywizna, skręcenie
Ostatnio zmieniony 10 lut 2019, o 00:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Krzywizna, skręcenie
Krzywizna
\(\displaystyle{ \kappa^2 = \langle T' T'\rangle, \ \ T = x^{'},}\)
\(\displaystyle{ \kappa^2 = \langle x^{''} x^{''} \rangle .}\)
Skręcenie (torsja)
Z równania Freneta-Serreta
\(\displaystyle{ \tau = - (N, B') = -(N, T\times N)' ).}\)
Z tożsamości Leibniza dla iloczynu wektorowego
\(\displaystyle{ \tau = - \langle N, T' \times N'\rangle - \langle N, T \times N'\rangle = -\langle N, T\times N' \rangle.}\)
Z definicji skręcenia krzywej
\(\displaystyle{ \tau = -\langle N, T\times N' \rangle =-\langle \kappa^{-1}, x' \times (k^{-1} x^{''})'\rangle.}\)
Uwzględniając iloczyn mieszany jako zorientowaną objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach
\(\displaystyle{ a, b, c}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c) = (a, b\times c) = det( a, b, c), \ \ a,b,c \in \RR^3.}\)
\(\displaystyle{ \tau = \frac{(x' x^{''} x^{'''})}{\kappa^2} = \frac{(x' x^{''} x^{'''})}{\langle x^{''} x^{''}\rangle }.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ (x^{'} x^{''} x^{'''}) = \tau \cdot \kappa^2.}\)
\(\displaystyle{ \kappa^2 = \langle T' T'\rangle, \ \ T = x^{'},}\)
\(\displaystyle{ \kappa^2 = \langle x^{''} x^{''} \rangle .}\)
Skręcenie (torsja)
Z równania Freneta-Serreta
\(\displaystyle{ \tau = - (N, B') = -(N, T\times N)' ).}\)
Z tożsamości Leibniza dla iloczynu wektorowego
\(\displaystyle{ \tau = - \langle N, T' \times N'\rangle - \langle N, T \times N'\rangle = -\langle N, T\times N' \rangle.}\)
Z definicji skręcenia krzywej
\(\displaystyle{ \tau = -\langle N, T\times N' \rangle =-\langle \kappa^{-1}, x' \times (k^{-1} x^{''})'\rangle.}\)
Uwzględniając iloczyn mieszany jako zorientowaną objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach
\(\displaystyle{ a, b, c}\)
\(\displaystyle{ (a,b,c) = (a, b\times c) = det( a, b, c), \ \ a,b,c \in \RR^3.}\)
\(\displaystyle{ \tau = \frac{(x' x^{''} x^{'''})}{\kappa^2} = \frac{(x' x^{''} x^{'''})}{\langle x^{''} x^{''}\rangle }.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ (x^{'} x^{''} x^{'''}) = \tau \cdot \kappa^2.}\)