Odległość punktu od płaszczyzny

[felek321]

Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ A(1,0,3)}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ P}\) opsanej równaniami
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= 2-t+s \\ y=1+s \\z=t \end{cases}}\)

[a4karo]

I jaki masz pomysł? Znasz jakiś wzór, który opisuje odległość punktu od płaszczyzny?

[felek321]

I jaki masz pomysł? Znasz jakiś wzór, który opisuje odległość punktu od płaszczyzny?

\(\displaystyle{ wzór \frac{ \left|Ax_{A}+By_{A}+Cz_{A}+D \right| }{ \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)

tylko nie umiem postaci parametrycznej zamienic na ogolna

[a4karo]

pyt 1. znasz jakiś punkt, który leży na tej płaszczyźnie?
pyt 2. znasz wektory, które rozpinają tę płaszczyznę
pyt 3. czym sa \(\displaystyle{ A,B,C}\) w powyższym równaniu?

[janusz47]

Narysuj punkt \(\displaystyle{ P}\) i płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi.}\)

Piszemy równanie parametryczne prostej przechodzącej przez ten punkt i prostopadłej do płaszczyzny.

Zauważ, że wektor kierunkowy tej prostej jest wektorem prostopadłym płaszczyzny.

Eliminując parametry \(\displaystyle{ s, t}\) z równania parametrycznego płaszczyzny, otrzymujemy jej równanie w postaci ogólnej:

\(\displaystyle{ x - y + z - 1 = 0 \ \ (1)}\)

Wektor prostopadły płaszczyzny \(\displaystyle{ \vec{v}= [1, -1, 1 ]}\)

Szukane równanie parametryczne prostej:


\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = 1 + 1\cdot t \\ y = 0 + (-1)\cdot t, \\ z = 3 + 1\cdot t \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 0 - t, \\ z = 3 + t \end{cases}}\)

Znajdujemy punkt "przebicia" płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) prostą \(\displaystyle{ l.}\)

W tym celu znajdujemy wspólną wartość parametru \(\displaystyle{ t}\) prostej i płaszczyzny:

\(\displaystyle{ 1+t +t +3 +t -1 = 0, \ \ 3t +3 = 0, \ \ t = -1.}\)

Podstawiamy wartość \(\displaystyle{ t = -1}\) do równania prostej , otrzymując współrzędne poszukiwanego punktu przebicia \(\displaystyle{ P'}\)

\(\displaystyle{ P'\left( 1 - 1, \ \ 1 , \ \ 3 -1\right ) = \left( 0 , \ \ 1,\ \ 2\right)}\)

Teraz możemy obliczyć odległość \(\displaystyle{ d}\)punktu \(\displaystyle{ P}\) od płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) jako odległość dwóch punktów:

\(\displaystyle{ d = |PP'| = \sqrt{(0-1)^2 + (1 - 0)^2 +(2-3)^2}= \sqrt{1+ 1 +1}= \sqrt{3}.}\)

Zadanie, to można rozwiązać, z podanego przez Ciebie wzoru na odległość punktu od płaszczyzny, korzystając z jej równania ogólnego \(\displaystyle{ (1).}\)

Sprawdzamy wynik:

\(\displaystyle{ d = \frac{| 1\cdot 1 + 0\cdot (-1) +3\cdot 1 -1|}{\sqrt{1^2 +(-1)^2 +1^2}}= \frac{|3|}{\sqrt{3}} =\frac{3}{\sqrt{3}}= \sqrt{3}.}\)

[a4karo]

To zadanie można zrobić bez geometrii:
Kwadrat odległości punktu \(\displaystyle{ A}\) of punktu płaszczyzny odpowiadającemu parametrom \(\displaystyle{ t,s}\) jest równy

\(\displaystyle{ d^2=(2-t+s-1)^2+(1+s)^2+(t-3)^2=2s^2+2t^2-2ts+4s-8t+11\\
= 2s^2+2\left(t^2-ts+\frac{s^2}{4}\right)-\frac{s^2}{2}-8\left(t-\frac{s}{2}\right)+11\\
=\frac{3}{2}s^2+2\left[\left(t-\frac{s}{2}\right)^2-4\left(t-\frac{s}{2}\right)+4\right]-8+11\\
=\frac{3}{2}s^2+2\left(t-\frac{s}{2}-2\right)^2+3}\)

Zatem najmniejsza wartość \(\displaystyle{ d}\) to \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) osiągnięta w punkcie odpowiadającym parametrom \(\displaystyle{ (s,t)=(t,2)}\)

[felek321]

[...]
\(\displaystyle{ d = \frac{| 1\cdot 1 + 0\cdot (-1) +3\cdot 1 -1|}{\sqrt{1^2 +(-1)^2 +1^2}}= \frac{|3|}{\sqrt{3}} =\frac{3}{\sqrt{3}}= \sqrt{3}.}\)

Wow dzięki teraz już wszystko rozumiem, nie mogłem sobie tego jakoś wyobrazić! A zerknąłbyś jeszcze w mój post o równaniu stycznej do paraboli? tam mam podobny problem

[janusz47]

Felku321 proszę powtórzyć swój post bo nie mogę go znaleźć.

Szukałem nawet w koszu.

[Jan Kraszewski]

Felku321 proszę powtórzyć swój post bo nie mogę go znaleźć.

438840.htm

JK