Równanie osi stycznej krzywej

[AndyB]

Witam,

Rozpatrzmy krzywą \(\displaystyle{ \alpha \left( t \right) = \left( \frac{1}{4}t^4 , \frac{1}{3}t^3 , \frac{1}{2}t^2 \right) , t \in \RR.}\) Wyznacz równanie osi stycznej krzywej \(\displaystyle{ \alpha}\),która jest równoległa do płaszczyzny \(\displaystyle{ x + 3y + 2z = 0}\).

Problem jest taki, że chyba nie do końca rozumiem czym jest "oś styczna krzywej". W innych zadaniach, które robiłem, pojawiła się "oś normalna" - prosta wyznaczona przez wektor normalny. Wtedy po prostu liczyliśmy \(\displaystyle{ \alpha'' \left( t \right)}\) i podstawialiśmy je do równania prostej \(\displaystyle{ t\alpha'' \left( t_{0} \right) + \alpha \left( t_{0} \right)}\). W tym jednak przypadku nie widzę jednak, żeby miało to sens. Jeśli obliczę styczną \(\displaystyle{ \alpha' \left( t_{0} \right)}\), to z góry (przy ustalonym \(\displaystyle{ t_{0}}\)) wiadomo czy prosta będzie równoległa czy nie do płaszczyzny.

Bardzo bym prosił o wytłumaczenie, czym jest "oś styczna krzywej".

[kerajs]

Przypuszczam że chodzi o prostą, styczną do zadanej krzywej.
Wektor styczny to:
\(\displaystyle{ \vec{v} =\left[ t_0^3,t_0^2,t_0\right]}\)
Skoro jest równoległy do płaszczyzny, to także jest prostopadły do jej wektora normalnego.
\(\displaystyle{ t_0^3 \cdot 1+t_0^2 \cdot 3+t_0 \cdot 2=0\\
t_0=0 \vee t_0=-1 \vee t_0=-2}\)
Skoro znasz już punkty styczności, to napisanie dwóch stycznych spełniających warunki zadania pewnie nie będzie problemem.

[AndyB]

@kerajs, bardzo dziękuję za pomoc. Wcześniejsze zadania, które robiłem z tego samego zestawu, były dużo trudniejsze. Zakładałem więc, że oś styczna krzywej to coś bardziej wyszukanego.