3 zadania z geometrii różniczkowej
: 31 sty 2019, o 16:09
Proszę o pomoc w zadaniach z geometrii różniczkowej na zbliżające się kolokwium. Nie rozumiem tych zadań .
Zadanie 1. Dla powierzchni \(\displaystyle{ S}\) z daną parametryzacją \(\displaystyle{ f(u,v)}\) wyznaczyć jej pierwszą i drugą formę kwadratową oraz obliczyć krzywiznę normalną powierzchni \(\displaystyle{ k_n^a}\) w kierunku wektorów: \(\displaystyle{ a=f'u}\), \(\displaystyle{ a=f_v'^n}\):
1. \(\displaystyle{ f(u,v)=(r \cos (u),r \sin u,v)}\)
2. \(\displaystyle{ f(u,v)=(u,v,u^2-v^2), (u,v) \in \RR^2}\)
Zadanie 2. Dla powierzchni \(\displaystyle{ S}\) z daną parametryzacją \(\displaystyle{ f(u,v)}\) wyznaczyć drugą formę kwadratową oraz znaleźć kierunki asymptotyczne i krzywe asymptotyczne:
1. \(\displaystyle{ f(u,v)=(u,v,u \cdot v), (u,v) \in \RR^2}\)
2. \(\displaystyle{ f(u,v)=(v \cos (u), v \sin (u),u)}\)
Zadanie 3. Dla powierzchni \(\displaystyle{ S}\) z daną parametryzacją \(\displaystyle{ f(u,v)}\) obliczyć współczynniki pierwszej i drugiej formy kwadratowej oraz znależć krzywizny główne, kierunki główne, krzywiznę Gaussa i podać klasyfikację punktów powierzchni:
1. \(\displaystyle{ f(u,v)=(u,v,u^2-v^2)}\)
2. \(\displaystyle{ f(u,v)=((a+b \cos (u)) \cos (v),(a+b \cos (u) \cdot \sin (v), b \sin (u)}\).
Zadanie 1. Dla powierzchni \(\displaystyle{ S}\) z daną parametryzacją \(\displaystyle{ f(u,v)}\) wyznaczyć jej pierwszą i drugą formę kwadratową oraz obliczyć krzywiznę normalną powierzchni \(\displaystyle{ k_n^a}\) w kierunku wektorów: \(\displaystyle{ a=f'u}\), \(\displaystyle{ a=f_v'^n}\):
1. \(\displaystyle{ f(u,v)=(r \cos (u),r \sin u,v)}\)
2. \(\displaystyle{ f(u,v)=(u,v,u^2-v^2), (u,v) \in \RR^2}\)
Zadanie 2. Dla powierzchni \(\displaystyle{ S}\) z daną parametryzacją \(\displaystyle{ f(u,v)}\) wyznaczyć drugą formę kwadratową oraz znaleźć kierunki asymptotyczne i krzywe asymptotyczne:
1. \(\displaystyle{ f(u,v)=(u,v,u \cdot v), (u,v) \in \RR^2}\)
2. \(\displaystyle{ f(u,v)=(v \cos (u), v \sin (u),u)}\)
Zadanie 3. Dla powierzchni \(\displaystyle{ S}\) z daną parametryzacją \(\displaystyle{ f(u,v)}\) obliczyć współczynniki pierwszej i drugiej formy kwadratowej oraz znależć krzywizny główne, kierunki główne, krzywiznę Gaussa i podać klasyfikację punktów powierzchni:
1. \(\displaystyle{ f(u,v)=(u,v,u^2-v^2)}\)
2. \(\displaystyle{ f(u,v)=((a+b \cos (u)) \cos (v),(a+b \cos (u) \cdot \sin (v), b \sin (u)}\).