Strona 1 z 1

Wektory w trójwymiarze

: 29 sty 2019, o 14:38
autor: Richard del Ferro
Proszę o sprawdzenie rozwiązania polecenia i ewentualne poprawki, ponieważ nie mogę dotrzeć do prawidłowej odpowiedzi, zagubiłem się i potrzebuję świeżego spojrzenia.

Mamy trzy punkty :
\(\displaystyle{ A=(0,1,-2), B=(-2,1,1), C=(2,-3,0)}\)
Należało wyznaczyć:

1. \(\displaystyle{ ||\overrightarrow{BC}||}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}=(2-(-2),-3-1,0-1)=(4,-4,-1)}\)

\(\displaystyle{ ||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{4^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{16+16+1}=\sqrt{33}}\)

2.\(\displaystyle{ \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{CB}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{BA}=(0-(-2),1-1,-2-1)=(2,0,-3)}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=(-4,4,1)}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{CB}=2\cdot(-4)+0\cdot 4+(-3)\cdot 1 = -8 -3 = -11}\)

3.\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA}}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}=(-2,0,3)}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{CA}=(0-2,1-(-3),-2)=(-2,4,-2)}\)

Teraz, dokonuje iloczynu wektorowego poprzez utworzenie macierzy z wektorami \(\displaystyle{ i,j,k}\), następnie stosuje rozwinięcie Laplace'a względem tych wektorów, a utworzone wyznaczniki macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\) zapisuję jako współrzędne nowego wektora, pamiętając o przeciwnym znaku w środkowej współrzędnej.

[ciach]

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA}= \left[ \begin{array}{ccc} i & j & k\\ -2 & 0 & 3\\ -2 & 4 & -2 \end{array}\right]=(-12,-10,-8)=\overrightarrow{v}}\)

4. Czy punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) leżą na jednej prostej?
Odpowiedź: nie.
Uzasadnienie: Mamy dwa wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) oraz \(\displaystyle{ \overrightarrow{CA}}\), które mają wspólny punkt \(\displaystyle{ A}\) i nie są równoległe, ponieważ wyznacznik macierzy z punktu 3 czyli ich iloczyn wektorowy jest niezerowy.

5. Oblicz pole równoległoboku powstałego z wektorów \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) oraz \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}=(2,-4,2)}\)

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}= - \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{v}}\)

\(\displaystyle{ ||-\overrightarrow{v}||=\sqrt{12^2+10^2+8^2}=\sqrt{308}}\)

Proszę jak nigdy o wytknięcie mi błędu, bardzo zależy mi na tym, żeby mieć maksymalną ilość punktów z tego typu zadań. :mrgreen:

edit:
jednemu koledze takie wyniki zaliczono, a mi nie, więc istnieje prawdopodobieństwo niezerowe, że odpowiedzi są poprawne!