Proszę o sprawdzenie rozwiązania polecenia i ewentualne poprawki, ponieważ nie mogę dotrzeć do prawidłowej odpowiedzi, zagubiłem się i potrzebuję świeżego spojrzenia.
Mamy trzy punkty :
\(\displaystyle{ A=(0,1,-2), B=(-2,1,1), C=(2,-3,0)}\)
Należało wyznaczyć:
1. \(\displaystyle{ ||\overrightarrow{BC}||}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{BC}=(2-(-2),-3-1,0-1)=(4,-4,-1)}\)
\(\displaystyle{ ||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{4^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{16+16+1}=\sqrt{33}}\)
2.\(\displaystyle{ \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{CB}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{BA}=(0-(-2),1-1,-2-1)=(2,0,-3)}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=(-4,4,1)}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{CB}=2\cdot(-4)+0\cdot 4+(-3)\cdot 1 = -8 -3 = -11}\)
3.\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}=(-2,0,3)}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{CA}=(0-2,1-(-3),-2)=(-2,4,-2)}\)
Teraz, dokonuje iloczynu wektorowego poprzez utworzenie macierzy z wektorami \(\displaystyle{ i,j,k}\), następnie stosuje rozwinięcie Laplace'a względem tych wektorów, a utworzone wyznaczniki macierzy \(\displaystyle{ 2\times 2}\) zapisuję jako współrzędne nowego wektora, pamiętając o przeciwnym znaku w środkowej współrzędnej.
[ciach]
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA}= \left[
\begin{array}{ccc}
i & j & k\\
-2 & 0 & 3\\
-2 & 4 & -2
\end{array}\right]=(-12,-10,-8)=\overrightarrow{v}}\)
4. Czy punkty \(\displaystyle{ A,B,C}\) leżą na jednej prostej?
Odpowiedź: nie.
Uzasadnienie: Mamy dwa wektory \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) oraz \(\displaystyle{ \overrightarrow{CA}}\), które mają wspólny punkt \(\displaystyle{ A}\) i nie są równoległe, ponieważ wyznacznik macierzy z punktu 3 czyli ich iloczyn wektorowy jest niezerowy.
5. Oblicz pole równoległoboku powstałego z wektorów \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) oraz \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}=(2,-4,2)}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}= - \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{v}}\)
\(\displaystyle{ ||-\overrightarrow{v}||=\sqrt{12^2+10^2+8^2}=\sqrt{308}}\)
Proszę jak nigdy o wytknięcie mi błędu, bardzo zależy mi na tym, żeby mieć maksymalną ilość punktów z tego typu zadań.
edit:
jednemu koledze takie wyniki zaliczono, a mi nie, więc istnieje prawdopodobieństwo niezerowe, że odpowiedzi są poprawne!
Wektory w trójwymiarze
- Richard del Ferro
- Użytkownik
- Posty: 190
- Rejestracja: 13 mar 2016, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 16 razy
Wektory w trójwymiarze
Ostatnio zmieniony 29 sty 2019, o 22:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.