Uzasadnienie, że zbiór punktów jest równo odległy od prostej

[419862391432]

Uzasadnij, że zbiór punktów równo odległych od prostej \(\displaystyle{ y=a}\) i punktu \(\displaystyle{ P=(0,a-2)}\) należy do paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y=- \frac{1}{4} x ^{2} +a-1}\).

Podobne zadanie, w którym nie ma niewiadomej w punkcie \(\displaystyle{ P}\) można zrobić obliczając odległość jakiegoś punktu \(\displaystyle{ K=(x,y)}\) od punktu \(\displaystyle{ P}\) i odległość punktu \(\displaystyle{ K}\) od prostej. Ale obliczając odległość jest długie wyrażenie przez niewiadomą \(\displaystyle{ a}\). Jak zrobić to zadanie?

[Jan Kraszewski]

Odległość punktu o współrzędnych \(\displaystyle{ (x_0,y_0)}\) od prostej \(\displaystyle{ y=a}\) to \(\displaystyle{ |y_0-a|}\).

Warunek z zadania algebraizuje się zatem tak, że szukamy punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\), których współrzędne spełniają warunek

\(\displaystyle{ |y-a|= \sqrt{(x-0)^2+(y-(a-2))^2}.}\)

JK