Znaleźć równanie stycznych

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Znaleźć równanie stycznych

Post autor: kylercopeland »

1) Znaleźć równanie wspólnych stycznych do paraboli \(\displaystyle{ y^2=30x}\) i do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2=64}\)

Zadanie o tej treści pojawiło się już na forum ale nie rozumiem rozwiązania tam zaproponowanego.

2) Dany jest okrąg o równaniu: \(\displaystyle{ x^2+(y-3)^2=5}\), znaleźć równanie paraboli \(\displaystyle{ y=ax^2}\) stycznej do okręgu.

Wyznaczyłem środek okręgu \(\displaystyle{ (0,3)}\) i promień \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\) ale nie mam pomysłu co dalej.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Znaleźć równanie stycznych

Post autor: piasek101 »

2) Może tak :
\(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie oraz układ równań tych krzywych ma mieć dokładnie dwa rozwiązania.
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Znaleźć równanie stycznych

Post autor: kylercopeland »

Dziękuję. Wyszło coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(y-3)^2=5\\ y=ax^2\end{cases}}\)

Podstawiam drugie do pierwszego:

\(\displaystyle{ a^2x^4+(1-6a)x^2+4=0}\)

\(\displaystyle{ t=x^2}\)

\(\displaystyle{ a^2t^2+(1-6a)t+4=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta =20a^2-12a+1}\)

\(\displaystyle{ \Delta=0}\) żeby były dwa rozwiązania (bo \(\displaystyle{ t=x^2}\))

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{1}{10}, a_{2}= \frac{1}{2}}\)

Mam dwa możliwe \(\displaystyle{ a}\) mimo, że tylko \(\displaystyle{ a_{2}= \frac{1}{2}}\) jest poprawną odpowiedzią. Dlaczego tak wyszło?

Ma ktoś jakiś pomysł jak rozwiązać 1)?
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2662
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 369 razy

Re: Znaleźć równanie stycznych

Post autor: Dilectus »

kylercopeland pisze:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) żeby były dwa rozwiązania (bo \(\displaystyle{ t=x^2}\))
Dlaczego?


Spróbuj inaczej:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+(y-3)^2=5\\ y=ax^2\end{cases}}\)

z drugiego mamy:

\(\displaystyle{ x^2= \frac{y}{a} \quad \quad \text {(a więc a} \neq 0 \ )}\)

i wstaw ten iks kwadrat do pierwszego równania. Dostaniesz równanie kwadratowe ze względu na \(\displaystyle{ y}\)

-- 26 lis 2018, o 18:04 --

A poza tym narysuj sobie ten okrąg, a zauważysz, że jest symetryczny względem osi \(\displaystyle{ OY}\).
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Znaleźć równanie stycznych

Post autor: kylercopeland »

Dilectus pisze:
kylercopeland pisze:
\(\displaystyle{ \Delta=0}\) żeby były dwa rozwiązania (bo \(\displaystyle{ t=x^2}\))
Dlaczego?
Bo gdy \(\displaystyle{ t}\) będzie równe na przykład \(\displaystyle{ 4}\) to mam dwa rozwiązania dla \(\displaystyle{ x}\) tzn. \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\)-- 26 lis 2018, o 21:24 --
Dilectus pisze:Dostaniesz równanie kwadratowe ze względu na \(\displaystyle{ y}\)
\(\displaystyle{ y^2+( \frac{1}{a} -6)y+4=0}\)

I teraz co? Sprawdzam kiedy \(\displaystyle{ \Delta}\) jest równa \(\displaystyle{ 0}\)? Wyjdzie wtedy to samo co u mnie, tzn. \(\displaystyle{ a_{1}= \frac{1}{10}, a_{2}= \frac{1}{2}}\)
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Re: Znaleźć równanie stycznych

Post autor: piasek101 »

kylercopeland pisze: Mam dwa możliwe \(\displaystyle{ a}\) mimo, że tylko \(\displaystyle{ a_{2}= \frac{1}{2}}\) jest poprawną odpowiedzią. Dlaczego tak wyszło?
Dla delty zerowej rozwiązanie ma być dodatnie (aby było dwa x-sy) - wynik \(\displaystyle{ a=0,1}\) tego nie spełnia.

Należałoby (co widząc odpowiedź podobno nie zajdzie) sprawdzić co z przypadkiem gdy delta jest dodatnia, a rozwiązania (równania z t) będą różnych znaków.

[edit] Co do zadania 1.
Szukana styczna jest postaci \(\displaystyle{ y=ax+b}\) (bo pionowe nie wchodzą w grę).

Układ styczna parabola ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie oraz układ styczna okrąg też dokładnie jedno (nie robiłem, nie wiem czy ładnie pójdzie ).
kylercopeland
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 150
Rejestracja: 20 lis 2017, o 21:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 54 razy

Re: Znaleźć równanie stycznych

Post autor: kylercopeland »

piasek101 pisze: Układ styczna parabola ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie oraz układ styczna okrąg też dokładnie jedno (nie robiłem, nie wiem czy ładnie pójdzie ).
Poszło ładnie. Bardzo dziękuję.
ODPOWIEDZ