Wyznacz równanie okręgu

[kylercopeland]

Wyznacz równanie okręgu, który jest symetryczny do okręgu o równaniu \(\displaystyle{ x^2+10x+y^2-2y+19=0}\) względem prostej \(\displaystyle{ y = 2x + 1}\).

Obliczyłem środek okręgu danego w zadaniu \(\displaystyle{ S(-5,1)}\) i odległość od środka do prostej \(\displaystyle{ 2 \sqrt{5}}\)

Żeby znaleźć środek drugiego okręgu wymyśliłem warunki:
1) Odległość od \(\displaystyle{ S_{2}}\) do prostej \(\displaystyle{ y}\) ma być równa odległości \(\displaystyle{ S}\) do prostej \(\displaystyle{ y}\)
2) Odległość od \(\displaystyle{ S_{2}}\) do \(\displaystyle{ S}\) ma być równa dwóm odległościom \(\displaystyle{ S}\) do prostej \(\displaystyle{ y}\)

Co po zapisaniu daje mi:

\(\displaystyle{ S_{2}(x,y)}\)

1) \(\displaystyle{ \frac{-2x+y-1}{ \sqrt{5} } = 2 \sqrt{5}}\)

2) \(\displaystyle{ \sqrt{(x+5)^2+(y-1)^2} = 4 \sqrt{5}}\)

Niestety nie wyszedł mi taki punkt jaki powinien tzn. \(\displaystyle{ S_{2} (3,-3)}\), a dwa kompletnie inne punkty (czerwony i czarny na rysunku).

AU

uZjzamF.png (14.13 KiB) Przejrzano 90 razy

Dlaczego tak jest?

[Jan Kraszewski]

Żeby znaleźć środek drugiego okręgu wymyśliłem warunki:
1) Odległość od \(\displaystyle{ S_{2}}\) do prostej \(\displaystyle{ y}\) ma być równa odległości \(\displaystyle{ S}\) do prostej \(\displaystyle{ y}\)
2) Odległość od \(\displaystyle{ S_{2}}\) do \(\displaystyle{ S}\) ma być równa dwóm odległościom \(\displaystyle{ S}\) do prostej \(\displaystyle{ y}\)

Słaby pomysł. Warunek 1) wyznacza Ci dwie proste równoległe do prostej \(\displaystyle{ y=2x+1}\) (jedną przechodzącą przez \(\displaystyle{ S}\), a drugą przez \(\displaystyle{ S_2}\)), a warunek 2) wyznacza okrąg o środku \(\displaystyle{ S}\) i promieniu \(\displaystyle{ 4\sqrt{5}}\). Jak nietrudno zauważyć, w ten sposób wyznaczysz trzy punkty, z których tylko jeden jest szukanym.

1) \(\displaystyle{ \frac{-2x+y-1}{ \sqrt{5} } = 2 \sqrt{5}}\)

Dodatkowo błędnie zapisujesz warunek 1).

Niepotrzebnie kombinujesz. Punkt \(\displaystyle{ S_2}\) możesz wyznaczyć tak:

1) Równanie prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ y=2x+1}\), przechodzącej przez \(\displaystyle{ S}\).
2) Punkt \(\displaystyle{ P}\) przecięcia prostej z 1) z prostą \(\displaystyle{ y=2x+1}\).
3) \(\displaystyle{ \overrightarrow{SP}=\overrightarrow{PS_2}}\).

JK

[kylercopeland]

Faktycznie, wystarczyło dodać \(\displaystyle{ \left| \right|}\) do warunku 1) żeby wyszedł dobry wynik. Dziękuję.